台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)

台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer’s method(Inverse matrix)

matrix left division左除:\ or mldivide()

solving systems of linear equations Ax=b using factorization methods:

求Ax=b中的x,只需要A\b
实际上,A\b这个算式matlab进行了很多判断,进行了很多演算,时间复杂度有点高
左除本质上也是succesive elemination 逐次消去法

看一个线性方程组
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第1张图片
matlab指令:
A=[1,2,1;2,6,1;1,1,4];
b=[2;7;3];
x=A\b

执行的结果:算出来x的值:
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第2张图片

一道练习题:需要结合上一次笔记
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第3张图片
关键点在于用matlab中矩阵把线性方程表述出来,然后求解,应该不难。
笔者的练习如下:

思考:这里需要用符号法syms吗?
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第4张图片我的练习:

syms R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2
A=[R1 0 0 R4 0; 0 R2 0 -R4 R5; 0 0 -R3 0 R5; 1 -1 0 -1 0; 0 1 -1 0 -1]
b=[V1;0;V2;0;0]

执行一下,发现可以:
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第5张图片

接下来就是求解的问题了,我想到的是用左除\

x=A\b

运行结果,这个用符号表示的线性方程组解出来了。

台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第6张图片
下面讲一些矩阵分解的一些函数

Matrix decomposition funcitons矩阵分解函数

qr(): orthogonal-triangular decomposition 正交三角矩阵的分解
ldl(): Block LDL’s factorization for Hermitian indefinite matrices(厄密特不定矩阵)
ilu():Sparse稀疏 incomplete LU factorization 稀疏矩阵的LU不完全分解
lu();LU matrix factorization LU分解
chol(): Cholesky factorization Cholesky 针对的是正定矩阵的分解,也称平方根法
gsvd(): generalized singular value decomposition 广义奇异值分解
svd():singular value decomposition奇异值分解

下面来到 cramer’s method

Cramer’s(Inverse) method

台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第7张图片
A的逆矩阵: A^-1:inverse of A
在这里插入图片描述
可以求出x矩阵
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第8张图片

Inverse Matrix逆矩阵

对于矩阵A,A的逆矩阵被定义为:
det(A)是矩阵A的行列式,是determinant的缩写
adj(A)是A矩阵的伴随矩阵(对整个矩阵求代数余子式,这些代数余子式构成的新的矩阵) 在这里是A中的a 和d 交换,b和c之间加负号
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第9张图片
性质:
A的逆矩阵再取逆,还是A;
kA的逆矩阵等于1/k乘以A的inverse

在这里插入图片描述

接下来讲解如何用cramer’s method 求解 方程组

solving equations using Cramer’s Method

下面的方程组例子

台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第10张图片
我们要求解x
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第11张图片
在matlab中

A=[1,2,1;2,6,1;1,1,4];
b=[2;7;3];
x=inv(A)*b

可以得到这个方程组的解

台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第12张图片
Cramer’s method 有一个问题:A的逆矩阵不一定存在
三元一次方程组 ,是三个平面之间的关系
可能有唯一解,可能无限解,可能无解
举例:矩阵中的两行成比例,A的逆矩阵不存在
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第13张图片

singular matrix
成为奇异矩阵,退化矩阵,不可逆矩阵

下面是作业题:
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第14张图片
我的思考:如何画一个平面
可能要用到plot3()函数
参考上几次的笔记:matlab3D画图函数
x=-20:0.1:20;
y=0:0.1:40;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z1=-X-Y;
Z2=-X+Y;
Z3=-X/3;
hold on
mesh(X,Y,Z1,‘r’,X,Y,Z2,‘b’,X,Y,Z3,‘g’);
hold off;
报错:mesh不能这样用
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第15张图片

修改成为下面这样:

x=-20:0.1:20;
y=0:0.1:40;
[X,Y]=meshgrid(x,y);%绘制网格
Z1=-X-Y;%三个平面的表达式
Z2=-X+Y;
Z3=-X/3;
hold on
mesh(X,Y,Z1);%绘图
mesh(X,Y,Z2);
mesh(X,Y,Z3);
hold off;

然后得到的结果:(使用的是按钮:三位旋转,画图出来之后,在菜单栏上有)
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第16张图片
另外一个角度:
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第17张图片
当然,也可以把mesh 替换为 surf()函数,这样更逼真

接下来回顾一下 Cramer’s Method 的problem
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第18张图片

其实,这个奇异矩阵(或者不可逆矩阵)在这种情况下也是。当一个矩阵的行列式很接近于零的时候,也称为不可逆矩阵,这时候就不能用 Cramer’s method 来求解了

在这里插入图片描述

遇到 singular 的时候,想要另外处理

Functions to check matrix condition

两个函数:
1)cond:matrix condition number 判断矩阵是否健康,越小越健康(线性独立性越好)
2)rank(): matrix rank 矩阵的秩

比较两个矩阵:
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如何看矩阵健不健康,需要Ax=b 这个原始公式,b已知,现在需要判断矩阵A健不健康
做法是:让A变化一点,看x变化多少,如果x变化很小,说明矩阵A很健康
台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第20张图片
用matlab看一下 两个矩阵的健康程度:从理论上讲,B矩阵比A健康
A=[1 2 3; 2 4.0001 6; 9 8 7];
cond(A)

B=[1 2 3; 2 5 6; 9 8 7];
cond(B)

台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(22) Cramer's method(Inverse matrix逆矩阵法)_第21张图片
可以看出来A矩阵是一个 ill-conditioned 的矩阵

【总结一下】
本文记录了线性方程组的解法(二):逆矩阵的方法。
同时学习了一下singular矩阵(奇异矩阵)的知识。
会使用cond()函数判断矩阵是否健康,使用rank()函数求得矩阵的秩(几个线性独立的向量)

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