高等数学上学习总结（集合，邻域，函数）

高等数学是大学中很重要的一门学科，由于大一的时候比较爱玩，根本没怎么好好学过，现在这学期准备重新学一遍高数！既可以训练数学思维，又可以为后面考研做好准备。

用的就是mooc中的高数视频。这两天先从数学史开始，学到了集合，函数。现在来总结一下。

一、高数的整个结构：
高等数学上的核心内容就是一元函数微积分。而一元函数微积分就包括极限，微分，积分和微分方程四个内容。其中极限是基础，微分和积分是运算，微分方程是微积分的延伸和运用。

二、集合
首先是集合，集合的概念很熟悉，就是具有相同性质的元素聚集在一起，就是一个集合。集合中讲到一个以前没怎么接触的概念，直集（说白了就是笛卡尔积）。A * B = {(a, b) | a属于A && b属于B };
然后有个推广实数集R和自己的直集是：R^2 = R * R 几何意义就是平面直角坐标系！

三、区间
讲到区间的概念。区间本质上是一个集合，是实数集的一个子集。

四、邻域（重点）
邻域本质上也是区间，就是区间的另一种表示法罢了。以点a为中心的任何开区间都称为点a的邻域，记为U(a)。 若 t 是一个正数，我们把开区间(a - t, a + t)称为点a的 t 邻域，记为U(a, t)
我们用集合表示就是U(a, t) = {x| |x - a| < t}。注：邻域都是开区间！这是定义！

如果说我们把邻域中的中心点a挖掉，那么就是称为去心邻域，记为Uo(a, t)。这个o写在U的上方。
去心邻域的集合表示：Uo(a, t) = {x| 0 < |x - a| < t};
去心邻域会有一个左邻域和一个右邻域，这个没什么说的

注：邻域的概念十分重要！因为它表达区间的方式很特别，如果当邻域半径 t趋近于0的时候，点a的邻域U(a, t)实际上近似就等于a这个点了（或a附近距离很小的点），因此，邻域在极限方面十分重要，为后面学极限坐下铺垫。

五、函数
首先要明白，函数y = f(x)中，f它是一个对应法则，将定义域内的任意一个元素x，通过这种对应法则，都能对应到一个函数值y。
函数的定义是这样说的：对任意x属于D中的x, 由对应法则f都有一个唯一y与其对应，这就是函数
其实，我记得我高中的时候，看函数这个定义就感到很奇怪，只能有唯一y与x对应吗？那难道圆、抛物线、双曲线都不算函数吗？而且还有很多像心形线这些，都不算函数吗？
现如今，终于解开了我的这个疑惑！其实函数的定义有点不准确。唯一y与x对应的函数我们叫单值函数。若每次有多个y与x进行对应，那我们就叫多值函数。所以说，圆应该是属于多值函数的。这个地方定义有点不准，主要是因为以前的教材函数的定义大多没有唯一这两个字，因此分为单和多，这个问题我们就不去纠结它了。

函数两要素：定义域和对应法则。如果这两个不同，那么两个函数也不同！如y = 2lnx与y = lnx^2这两个函数是不同的，它们的定义域是不同的！

y = sint和y = sinx这两个函数才是相同的

然后再是分段函数的概念，函数在自变量的不同范围内，具有不同的数学式子。比如符号函数y = sgnx当x > 0的时候,y = 1；x = 0的时候，y = 0。x < 0的时候，y = -1画出图像我们知道，这是一个奇函数！

六、函数的特性–有界性（重点）
有界性的大概意思：对于某一个区间D上的任意自变量x，都存在一个正整数满足|f(x)| <= M，那么就称f(x)在区间D上是有界的。否则就是无界
这个有界的定义应该是很好理解的，想象一下画个图就可以理解了。然后上界的定义，f(x) <= M，下界的定义，f(x) >= M。所以如果一个函数有界，那么我们肯定可以推出，它既有上界又有下界！同理，若一个函数在某一定义域D内，既有上界又有下界，那么f(x)在D上肯定有界！最后，说明，有界的充要条件是既有上界又有下界！

无界的定义（稍难理解）
上面说否则就是无界，那么无界到底是个什么定义呢？无界定义大概意思： 在定义域D内，无论取多么大的正数M（小于正无穷），都存在一个x0属于D，满足 |f(x0)| > M，那么函数在定义域D内就是无界的

举个例子，比如说指数函数2 ^ n，在定义域R内，它是无界的。为什么呢？我们来证明一下

比如，我取一个很大的正数M，那么是否存在一个x0属于R，满足|f(x0)| > M呢？
我们令x0 = M；这个是可以的，因为是在定义域内
那么| f(x0)| = 2 ^ M；	∵2 ^ M > M	∴在定义域内存在一个数x0 = M，满足|f(x0)| > M
因此，函数2 ^ n在定义域R内是无界的！

注：我在证明的过程中，一直强调定义域！因为函数有界无界都是相对于定义域而言的。比如刚刚讲的指数函数，它在R上是无界的，但是它在定义域[0, 1]肯定是有界的。所以函数的有界无界不能脱离定义域单独存在！

函数的奇偶性
高中学过的知识了。奇函数，偶函数的定义就不用在赘述了

值得注意的一点，奇函数偶函数定义中讨论的区间都是关于原点对称的区间
对于偶函数而言，因为如果定义域区间不对称，那么必然存在一点x，不会满足f(x) = f(-x)

这里有个结论，f(x)定义域为(-l, l)。证明必存在(-l, l)上的偶函数g(x)与奇函数h(x)使得f(x) = g(x) + h(x);

这个题要证的话，一般都喜欢把g(x)和h(x)替换掉，但实际上这题是把f(x)替换成f(-x)
f(-x) = g(-x) + h(-x) = g(x) - h(x);
联立f(x) = g(x) + h(x)
可以解出g(x),h(x)关于f(x)和f(-x)的表达式，然后就出来了。

函数的周期性
也是高中学过的，这里主要提一点

不一定所有的周期函数都有最小正周期！比如狄利克雷函数。只要周期是一个有理数就可以，但不存在最小正周期，因为你找不到最小的有理数

基本上就这些内容了，大多都是比较基础的，有界无界那里是非常重要的！尤其是证明