Math is Simple[杭电2020第一场][数学变形][数论变换]

题目

HDU

$2\le n\le 10^8$

思路

考试时候一直在想什么杜教筛和分块，但是数组开不下而且好像错了
这个分数裂项简直绝了
考虑记
$$f_n=\sum _{\begin{array}{c}1\le a<b\le n\\ gcd(a,b)=1\\ a+b\ge n\end{array}}\frac{1}{ab}$$
考虑递推，那么新增的必定有 $b=n$ 而且还要减去 $a+b=n-1$ 的方案
$$f_n=f_{n-1}+\sum _{\begin{array}{c}1\le a\le n\\ gcd(a,n)=1\end{array}}\frac{1}{an}-\sum _{\begin{array}{c}1\le a<b\le n-1\\ gcd(a,b)=1\\ a+b=n-1\end{array}}\frac{1}{ab}$$
然后开始操作了…
发现减去的似乎有点搞头，记$$g_n=\sum _{\begin{array}{c}1\le a<b\le n\\ gcd(a,b)=1\\ a+b=n\end{array}}\frac{1}{ab}$$
有边界 $g_2=0$
然后因为 $gcd(a,b)=gcd(a,a+b)=gcd(a,n)=gcd(b,n),\frac{1}{ab}=\frac{1}{n}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
于是有
$$g_n=\frac{1}{n}\sum _{\begin{array}{c}1\le a<b\le n\\ gcd(a,b)=1\\ a+b=n\end{array}}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$
$$g_n=\frac{1}{n}\sum _{\begin{array}{c}1\le a\le n\\ gcd(a,n)=1\end{array}}\frac{1}{a}$$
惊奇的发现和 $f_n$ 的表达式扯上关系
于是
$$f_n=f_{n-1}+g_n-g_{n-1}$$
这真的很离谱，
然后 $f_{n-1}=f_{n-2}+g_{n-1}-g_{n-2}$
代入，一直到
$f_n=f_2-g_2+g_n=\frac{1}{2}+g_n$
然后只用求 $g_n$
接着莫比乌斯反演
$$\begin{gathered} g_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}[gcd(i,n)=1]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\sum _{d|(i,n)}{\mu }_d \\ =\frac{1}{n}\sum _{d|n}{\mu }_d\frac{1}{d}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\frac{1}{i}=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\mu (d)\frac{1}{d}S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ) \end{gathered}$$
然后就可以 $O(n)$ 算出 $S(n)$
然后由于空间限制 $512Mb$ ，一个 $1e8$ 的数组是 $350Mb$ 左右，你不能 $O(n)$ 筛出 $\mu$ ，要将 $n$ 质因数分解后类似二进制枚举搞出 $g_n$

代码

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
LL read(){
    LL f=1,x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return f*x;
}
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Mod 998244353
#define MAXN 100000000
inline int Sub(register int x,register int y){x-=y;return x<0?x+Mod:x;}
inline int Add(register int x,register int y){x+=y;return x>=Mod?x-Mod:x;}
inline int Mul(register LL x,register int y){x*=y;return x>=Mod?x%Mod:x;}
int Pow(int x,LL y){
	int ret=1;
	while(y){
		if(y&1) ret=Mul(ret,x);
		x=Mul(x,x);
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
int n,inv[MAXN+5],cnt,p[30],ans;
void DFS(int x,int d,int u){
	if(x>cnt){
		ans=Add(ans,Mul(Mul(u,Sub(inv[d],inv[d-1])),inv[n/d]));
		return ;
	}
	DFS(x+1,d,u);
	DFS(x+1,d*p[x],Mod-u);
	return ;
}
int main(){
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++)
		inv[i]=(Mod-(1ll*Mod/i*inv[Mod%i]%Mod))%Mod;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++)
		inv[i]=Add(inv[i],inv[i-1]);
	int T=read();
	while(T--){
		ans=0,cnt=0,n=read();
		int tmp=n;
		for(int i=2;i*i<=tmp;i++)
			if(tmp%i==0){
				p[++cnt]=i;
				while(tmp%i==0)
					tmp/=i;
			}
		if(tmp>1)
			p[++cnt]=tmp;
		if(n!=2)
			DFS(1,1,1);
		else ans=0;
		ans=Mul(ans,Sub(inv[n],inv[n-1]));
		printf("%d\n",Add(ans,inv[2]-1));
	}
    return 0;
}