谁说数学没用——基元碰撞检测（2）
这里介绍的是“基元”之间的碰撞检测，所谓“基元”就是线段、三角形、矩形、平面、圆、椭圆等各种常见的、能用一两个数学公式表示的图形。“基元碰撞检测”是游戏开发中常用的手段，用数学公式求解碰撞结果，能让我们系统性的理解其中的原理。大家也不用担心，里面用到的数学公式，充其量高中、大一都学过，都属于“空间解析几何”范畴。
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前面讲了2D线段”与“2D线段”之间的碰撞检测，这次是“2D线段”与“2D圆”的碰撞检测。
先说结果：
1. 两者如果有正常的“相交”，那么结果是1~2个交点，我们只取“离线段起始点最近的”那个点。
2. 如果两者相切，就是两个交点在同一个位置，随便取一个即可。
3. 在以下情况下认为没有交点：
圆心到线段的距离 > 圆的半径
线段很短、完全在圆内
线段与圆相交在延长线上
如果线段的两个端点重合，即线段是一个点，也认为没有交点。
开始推导：
假设在2D坐标系中，有一个圆，如下图所示：
圆心为C，坐标为（Xc， Yc），半径为R
那么，对于圆周上任意一点P，到C的距离为R，两点之间的距离可以用如下公式计算：
d = sqrt( (Xp - Xc)^2 +(Yp - Yc)^2) ) = R
用向量可以表示为：
d = | P - C | = R
对于线段P1 -> Q1，前面讲过，对于该线段上任意一个点P，可以用如下“参数方程”表示：
P = P1 + t * V1 t ∈ [0, 1]
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假设两根线段相交于点P，那么联立方程组：
| P - C | = R
P = P1 + t * V1 t ∈ [0, 1]
把P代进圆的方程：
| P1 + t * V1 - C | = R
| t * V1 + (P1 - C) | = R
| t * V1 + CP1 | = R
注意这里左边的“V1”、“CP1”都是向量，右边的R是标量。
两边平方去掉绝对值符号：
（t * V1 + CP1）^2 = R^2
V1^2 * t^2 + （2 * CP1 * V1） * t + CP1^2 = R^2
V1^2 * t^2 + （2 * CP1 * V1） * t + （CP1^2 - R^2） = 0
这里，向量的平方就是对自己点积，向量的乘法就是点积，我们做进一步计算：
V1^2 = V1 * V1 = dot_product(V1, V1) = a2 * CP1 * V1 = 2 * dot_product(CP1, V1) = b
CP1^2 - R^2 = CP1 * CP1 - R^2 = dot_product(CP1, CP1) - R^2 = c
我们可以把方程简化为：
a * t^2 + b * t + c = 0
这个方程，大家有没有很熟悉，初中里都学过，一元二次方程。
它有一个专门的求根公式：
其中，
，
当 Δ >= 0的时候，可以开根号，能求得两个“实数解”，线段与圆有1~2个交点。
当 Δ < 0的时候，这种情况下，其实是“圆心到线段的距离”大于圆的半径，故不会相交。
求根公式图片是从baidu上找的，我们把 x 替换成 t，就能得到两个解：
t1 = ( -b - sqrt( b^2 - 4ac ) ) / 2a
t2 = ( -b + sqrt( b^2 - 4ac ) ) / 2a
可以看到t1 <= t2。
至此，我们根据t1、t2的值就可以判断，线段与圆是否有效相交：
t1、t2都在[0, 1]范围内时，即 0 <= t1 <= t2 <= 1，这两个都是有效解，相交于两个点。
如果只有一个在[0, 1]范围内，则那个是有效解，即只相交一个点。
如果t1 = t2，则线段与圆相切，线段所在直线是圆的切线，切点就是相交点，正好在圆周上。
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原理讲完了，求解部分的伪代码如下：
if (a == 0) return No Intersection; // 线段两个端点重合
Δ = b^2 - 4ac
if (Δ < 0 ) return No Intersection;
t1 = ( -b - sqrt(Δ) ) / 2a
if ( t1 >= 0 && t1 <= 1 )
P = P1 + t1 * V1
return P;
t2 = ( -b + sqrt(Δ) ) / 2a
if ( t2 >= 0 && t2 <= 1 )
P = P1 + t2 * V1
return P;
return No Intersection;
特别需要注意的是，如果V1的长度为0，线段两个端点重合，即a == 0，要特殊处理。
各种相交情况可以看以下这些图：
