最大权闭合子图 - [求最大点权的闭合子图]（算法分析）

引言·什么是最大权闭合子图

先讲闭合子图的概念，就是一幅图中每个点，以及每个点的出边的点都在这幅图中，也就是这幅图中的所有点的出边都是指向子图内部的。

最大权闭合子图：在所有的闭合子图中，它所包含的子图的点的点权之和是最大的。

上述的问题，都是基于将权值放在点上去考虑，现在，我们想要去求解最大权闭合子图，需要把点权考虑成边权（边的流量）来计算。

证明·推导·分析过程

首先有一个有向连通图，每个点带有一个权值，例如：

 

Tips：按权值的正负连接到s和t：从贪心的角度来看，最大闭合子图的起点必然是正权值点，但是不能保证起点是哪个正权值点，而最小割是求S到T的最小割，于是乎，如果说有的正权值是作为闭合子图的末尾，实际上并不会影响到答案，这些在下文有阐述到。

此时，构建一个超级源点s，一个超级汇点t，所有的点按权值的正负连接到s和t上，其余边的边权设置为INF，转换成一个边权值有向图，如下图：

（注：点权为0的点可以忽略，对结果没有影响）

 

这时，可以得到小结论：

 

①该带边权有向图的关于s-t最小割，是简单割；

　　简单割：割集中所有的边，都与s或t相连接。

这里可以简单的想想，除了链接S和链接T的边，其余的边都是INF边，我们是不可能割INF边的。

　　显然的，因为不与s,t相连的边，权值都是INF，最小割不可能割在INF的边上；

　　这早在文章http://www.cnblogs.com/dilthey/p/7401563.html中就有出现提到过，实际上，这个带边权有向图就是二分图；

 

②该图中的每一个简单割产生的两个子图，我们记含有点s的是图S，含有点t的是图T，则图S是闭合图；

　　闭合图：在一个图中，我们选取一些点构成集合，若集合中任意点连接的任意出弧，所指向的终点也在V中，则这个集合以及所有这些边构成闭合图。

简单推理：因为中间的边（原边）的流量都设置为了INF，所以肯定会走到底的。

　　证明：简单割内不包含边权为INF的边，即不含有连通两个图的边（除了连接在t点上的边之外）；

　　　　　即，图S中没有边与图T连通，那么，所有的边都只能连接在图S之内，即为闭合图。

　　样例：

　　　　　　　　　　

 

③最小割产生的图S和图T，图S为最大权闭合子图；

　　最大权闭合子图：在整个图中，有多个子图是满足闭合图的条件的，其中点权值之和最大的，为最大权闭合子图；

　　因为割集中所有的边，不是连接在s上，就是连接在t上；

　　我们记割集中，所有连接在s上的边的权值和为x1，所有连接在t上的边的权值和为x2，而割集中所有边权值和为X=x1+x2；

X = X1 + X2:是因为我们的割边，要么是链接S处，要么是链接T处。

　　又，记图S中所有点的权值和为W，记其中正权值之和为w1，负权值之和为 - w2，故W = w1 - w2；

　　而 W + X = w1 - w2 + x1 + x2，由于x2 = w2

X2 = W2: X2是T处的割边，而W2是图S的负权值点权和，又有负权值点是直接与T相连的，所以X2 = W2。

　　　　（因为图S中所有负权值的点，必然连接到t点，而图S必然要与t分割开；故割集中，“连接在t点上的边权值和”就是“图S中所有负权值点的权值之和，取负”）

　　因而W + X = w1 + x1；

　　而显然的，w1 + x1是整个图中所有正权值之和，记为SUM；

　　故W = SUM - X，即 “图S中所有点的权值和” = “整个图中所有正权值之和”  - “割集中所有边权值和”；

　　然后，因为SUM为定值，只要我们取最小割，则“图S中所有点的权值和”就是最大的，即此时图S为图S为最大权闭合子图；

 

求解方法

最后，我们就有了求解这类问题的完整思路：

　　①先记录整个图中，所有正点权值的和；

　　②建立对应流网络，求最大流，最大流在数值上等于最小割，故我们得到了流网络的s-t最小割；

　　③“所有正点权值的和”减去“s-t最小割”，即得最大权闭合子图的权值和。

 

参考资料一

参考资料二

 

例题讲解

最经典的例题就是太空飞行计划问题。

首先，这里强调的是从S出发。所以，其实暗示了我们只能采取一些合适的最大流求最小割的算法，例如说ISAP就是不可以的，它的本质是从T往S的割集，例如说这样的情况就会出现问题：

从ISAP的角度出发，会使得它的高度变化变成：

如果说，我们利用T->5->2->S，以及T->4->2->S将“S->2”这条边的流量给流完了，实际上确实不合理的这样就变成了把T这端的变成了我们想要的类型，和我们上面的推导的算法过程是不符合的。

  所以，我们求解的方法仍然是Dinic()来跑最大流求最小割，最后所要的点还是在S端的链接的点。

2 3
3 1 2
2 2 3
1 2 1

ans:
1 2
1 2 3
1

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