机器学习中的线性代数之矩阵求导

前面针对机器学习中基础的线性代数知识，我们做了一个常用知识的梳理。接下来针对机器学习公式推导过程中经常用到的矩阵求导，我们做一个详细介绍。

矩阵求导（Matrix Derivative）也称作矩阵微分（Matrix Differential），在机器学习、图像处理、最优化等领域的公式推导中经常用到。

矩阵的微积分本质上是多元变量的微积分问题，只是应用在矩阵空间上而已

根据 Y 与 X 的不同类型（实值、向量、矩阵）给出如下表中的表示：

类型	标量（Scalar） y	向量（Vector） y	矩阵（Matrix） Y
Scalar x	∂y∂x	∂y∂x	∂Y∂x
Vector x	∂y∂x	∂y∂x
Matrix X	∂y∂X

下面我们根据分子的布局（即X的类型）来介绍矩阵的导数求解

0 布局约定（Layout conventions）

事实上，所有求导的法则都可以从最基本的求导规则推导出来。不知你有没发现，不同的文献中，同样的式子求导的结果有时候会不一样，仔细观察会发现刚好相差一个转置，于是我们得先说说求导的两个派别（布局）。

由向量关于向量的求导 ∂y∂x 可以得出两种矛盾的表示：结果表示为 n×m 矩阵或 m×n 矩阵。也就是把 y 表示为列向量 x 表示为行向量或者反过来表示的问题。

布局（Layout）：在矩阵求导中有两种布局，分别为分母布局(denominator layout)和分子布局(numerator layout)。这两种不同布局的求导规则是不一样的。
向量 y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y1y2⋮yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ ，关于标量 x 的求导，

在分子布局下，为：

∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x∂y2∂x⋮∂yn∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(1)

而在 分母布局下，为：

∂y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋯∂yn∂x](2)

通过观察和推导我们可以知道，分子布局和分母布局之间刚好差一个转置，即在分子布局下与原来 Y 相同，而在分母布局下差一个转置。

对于正切矩阵 ∂y∂x 采用分母布局，即 Y⊤ ，很不符合表达的习惯，所以本文中我们采用的是分子布局。

1 关于标量的导数

对于 X 是标量的情况，是我们最熟悉的一种情况。

1.1 标量关于标量X的求导

这中情况就是我们平时的代数求导，直接就是 ∂y∂x

1.2 向量关于标量X的求导

向量 y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y1y2⋮yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ ，关于标量 x 的求导就是 y 的每一个元素分别对 x 求导，可以表示为

∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x∂y2∂x⋮∂yn∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(3)

此时为正切向量， ∂y∂x 为 y 的 正切向量，有映射 y : Rm⟹Rm 。

1.3 矩阵关于标量X的求导

矩阵对标量的求导类似于向量关于标量的求导，也就是矩阵的每个元素分别对标量 x 求导，矩阵 Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y11y21⋮yn1y12y22⋮yn2⋯⋯⋱⋯y1ny2n⋮ynn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 对标量 x 的导数为

∂Y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y11∂x∂y21∂x⋮∂yn1∂x∂y12∂x∂y22∂x⋮∂yn2∂x⋯⋯⋱⋯∂y1n∂x∂y2n∂x⋮∂ynn∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(4)

2 关于向量的导数

2.1标量关于向量 x 的导数

标量 y 关于向量 x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 的求导可以表示为

∂y∂x=[∂y∂x1 ∂y∂x2 ⋯ ∂y∂xn](5)

此时的向量叫做 梯度向量。 ∂y∂x 为标量 y 在空间 Rn 的梯度，该空间以 x 为基。

2.2 向量关于向量 x 的导数

向量函数（即函数组成的向量） y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y1y2⋮yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 关于向量 x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 的导数记作

∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x1∂y2∂x1⋮∂yn∂x1∂y1∂x2∂y2∂x2⋮∂yn∂x2⋯⋯⋱⋯∂y1∂xn∂y2∂xn⋮∂yn∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(6)

此时获得的矩阵 ∂y∂x​ 叫做 Jacobian 矩阵。

2.3 矩阵关于向量 x 的导数

矩阵 Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y11y21⋮yn1y12y22⋮yn2⋯⋯⋱⋯y1ny2n⋮ynn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 对向量 x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ 的导数是推导中最复杂的一种，我们可以表示为

∂Y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y11∂x1∂y21∂x1⋮∂yn1∂x1∂y1n∂x2∂y22∂x2⋮∂yn2∂x2⋯⋯⋱⋯∂y1n∂xn∂y2n∂xn⋮∂ynn∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(7)

3 关于矩阵的导数

我们一般只考虑标量关于矩阵的导数（因为矩阵对向量和矩阵的导数与前面2.3节的内容一致或相似），即标量 y 对矩阵 X 的导数为 ∂y∂X ，此时的导数是梯度矩阵，可以表示为下式：

∂y∂X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y∂x11∂y∂x12⋮∂y∂x1n∂y∂x21∂y∂x22⋮∂y∂x2n⋯⋯⋱⋯∂y∂xn1∂y∂xn2⋮∂y∂xnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(8)

4 维度分析

当我们对一些复杂的矩阵乘积求偏导的时候，直接求很难直接求出，这时候我们可以通过分析矩阵的维度来得到结果。例如:

考虑以下导数 ∂Au∂x ，其中 A 与 x 无关 且有 A∈Rm×n ， u∈BbbRn×1 ， x∈Rp×1 ，我们知道结果肯定和 ∂u∂x 有关，于是先把 A 提出求导式，至于到了哪暂时不知道，接着我们知道 ∂u∂x∈Rp×n ，于是 A 只能转置后添加到后面。因此有

∂Au∂x=$∂u∂xA⊤(9)

再考虑问题 ∂x⊤Ax∂x ，其中 A∈Rn×n ， x∈Rn×n ,
为了分析这个问题我们考虑一个更一半的问题

∂x⊤Ax∂x(10)

其中 A∈Rn×n ， x∈BbbRn×n ，且 A 与 x 和 y 无关 。于是我们利用维度分析，采用非精确的乘积法则，可以将它分为两个部分

∂(x⊤A)y∂x(11)

于是结果与两部分相关，一个是

∂y∂x∈Rm×n(12)

另一个是

∂x⊤A∂x=A∈Rm×n(13)

同样通过维度分析，我们可以得到

∂(x⊤A)y∂x=∂y∂xA⊤x+Ay(14)

因此经过维度的比较我们可以得到

∂x⊤Ax∂x=(A⊤+A)x(14)

通过以上两个示例的学习，我们可以知道在求解复杂矩阵的求导问题时，通过维度来判断矩阵的导数形式很简便同时也不容易出错。下图是机器学习中常见的矩阵求导形式，可供参考：

5 总结

在本文中，我们针对机器学习推导中的矩阵求导问题做了一个全面的分析，同时结合前文 深度学习系列（二）——机器学习中的线性代数知识 介绍的机器学习中线性代数的基础知识，我们对线性代数部分做了详细的了解。下一章我们介绍机器学习中涉及到的概率知识。