过河问题（图论方法）

农夫过河问题

问题描述

一个农夫带着一头狼、一头羊、一颗白菜过河。他面前只有一条船，只能容纳他和一件物品，只有农夫会划船。如果农夫不在场，狼会吃羊、羊会吃白菜，农夫在场则不会。求将所有物品运到对岸的方案。

解题思路

根据物品的位置定义状态，若在左岸记为1，右岸记为0，于是最终方案就是(1,1,1,1)-->(0,0,0,0)所经过的路径。

1、定义状态

2、列举所有状态（人、狼、羊、菜）

3、删除不合理的状态（狼和羊、羊和菜）

4、连边（模拟一次渡河）

5、寻找路径

寻找(1111)-->(0000)的边，可以用寻路算法如bfs、dfs,如果要求最短路可以用最短路算法如bfs、Dijsktra等，当然这里图很简单，可直接观察出来。

(1111)-->(0101)-->(1101)-->(0001)-->(1011)-->(0010)-->(1010)-->(0000)（两条最短路之一）
       左岸                                 右岸
1、人  狼  羊 花                           空
2、狼  花                                 人 羊
3、人  狼 花                               羊
4、花                                     人 狼  羊
5、人  羊  花                              狼
6、羊                                     人 花  狼
7、人 羊                                  狼 花
8、空                                     狼 花 人 羊   

传教士与吃人恶魔的问题

问题描述

有三个传教士和三个吃人恶魔要渡过一条河，河中有一条船，只能装下两个人。在任何地方（无论是岸边还是船上），如果吃人恶魔数量多于传教士数量，吃人恶魔就会吃掉传教士。问：怎么才能让这些都安全过河？

解题思路

1、定义状态

2、列举所有状态

3、删除不合理状态

4、连边（模拟依次渡河变化）

5、寻找路径

寻找(33 L 00)-->(00 R 33)的路径

其中一条路径
(33 L 00)-->(31 R 01)-->(32 L 01)-->(30 R 03)-->(31 L 02)-->(11 R 22)-->(22 L 01)-->(02 R 31)-->(03 L 30)-->(01 R 32)-->(02 L 31)-->(00 R 33)
1、两个吃人恶魔过河
2、一个吃人恶魔回来
3、两个吃人恶魔过河
4、一个吃人恶魔回来
5、两个传教士过河
6、一个传教士和一个吃人恶魔回来
7、两个传教士回来
8、一个吃人恶魔回去
9、两个吃人恶魔过河
10、一个吃人恶魔回去
11、两个吃人恶魔过河

四人过桥问题

问题描述

在一个漆黑的夜里，四位旅游者来到一座狭窄而没有护栏的桥边，如果不借助手电筒的话，大家是无论也不敢过去。不幸的是四个人中只有一只手电筒，而桥窄得只够两个人同时通过。如果各自单独过桥得话，四个人所需要的时间分别是1、2、5、10分钟，如果两个人同时过桥，所需要的时间是较慢的那个人单独行动时的时间。问：如何设计一个方案，让四个人尽快过桥。

解题思路

与前面两个相比，这次不仅要求方案，同时要求时间最短。 

同样需要定义状态，四个人+手电筒的位置

1、定义状态

2、建图

分为每次通过一个人和每次两个人，都是带权无向边。

(下面只连接了与(01111)的边)

3、寻找最短路

寻找(L 1111)-->(R 0000)的最短路，即最短路算法中(01111)-->(10000)的最短路，以下是利用Dijstra算法的解决方法。

最终答案为(2 + 1 + 10 + 2 + 2) = 17.

  1 #include
  2 #include
  3 #include<string>
  4 #include
  5 #include
  6 using namespace std;
  7 
  8 //定义图中结点
  9 struct Node
 10 {
 11     int u, d;            //该节点的编号与距离
 12     bool operator < (const Node x) const
 13     {
 14         return  d > x.d;
 15     }
 16 };
 17 
 18 //边结构体的定义
 19 struct Edge
 20 {
 21     int to;     
 22     int w;       
 23     int next;  
 24 };
 25 
 26 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 27 const int V = 32 + 10;
 28 const int E = 32 * 32 + 10;
 29 int dis[V];            //源到各顶点的最短距离
 30 int vis[V];            //记录是否被收录，用来代替集合S
 31 int head[V];          //head[i]表示顶点i的第一条边的数组下标，"-1"表示顶点i没有边
 32 Edge edge[E];
 33 
 34 inline void AddEdge(int a, int b, int w, int id)
 35 {
 36     edge[id].to = b;
 37     edge[id].w = w;
 38     edge[id].next = head[a];  
 39     head[a] = id;             
 40     return;
 41 }
 42 
 43 //s为起点
 44 void Dijsktra(int s)
 45 {
 46     priority_queueq;            //取出集合T中的最小值
 47     memset(vis, 0, sizeof(vis));
 48     memset(dis, INF, sizeof(dis));    
 49 
 50     dis[s] = 0;
 51     q.push(Node{ s, dis[s] });
 52     while (!q.empty())
 53     {
 54         Node x = q.top(); q.pop();
 55         int u = x.u;
 56 
 57         if (vis[u])    continue;
 58 
 59         vis[u] = true;
 60         for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)    //松弛与u直接相邻的顶点
 61         {
 62             int v = edge[i].to;
 63             int w = edge[i].w;
 64             if (!vis[v] && dis[u] + w < dis[v])
 65             {
 66                 dis[v] = dis[u] + w;
 67                 q.push(Node{ v,dis[v] });
 68             }
 69         }
 70     }
 71 }
 72 
 73 const int score[] = { 1,2,5,10 };   //每个人单独行动的时间
 74 
 75 int main()
 76 {
 77     //建图
 78     memset(head, -1, sizeof(head));
 79     int id = 0;
 80     for (int i = 0; i < (1 << 4); i++)
 81     {
 82         int bits[4];
 83         for (int j = 0; j < 4; j++)  bits[j] = (i >> j) & 1;
 84         //一次走一个人
 85         for (int j = 0; j < 4; j++)  if (bits[j])
 86         {
 87             int tmp = i - (1 << j) + 16;
 88             int w = score[j];
 89             AddEdge(i, tmp, w, id++);
 90             AddEdge(tmp, i, w, id++);
 91         }
 92         //一次走两个人
 93         for(int j = 0;j < 3;j++)
 94             for (int k = j + 1; k < 4; k++)   if (bits[j] && bits[k])
 95             {
 96                 int tmp = i - (1 << j) - (1 << k) + 16;
 97                 int w = max(score[j],score[k]);
 98                 AddEdge(i, tmp, w, id++);
 99                 AddEdge(tmp, i, w, id++);
100             }
101     }
102     Dijsktra(15);
103     printf("%d\n", dis[16]);
104 
105     return 0;
106 }

此类问题很多，但大多可用图论的思想做（虽然不一定是速度最快的），后续在补充吧，有问题直接留言！

参考链接：中国大学mooc 刘铎老师  离散数学

 

转载于:https://www.cnblogs.com/lfri/p/9866992.html