【知识总结】卡特兰数 (Catalan Number) 公式的推导

卡特兰数的英文维基讲得非常全面，强烈建议阅读！

Catalan number - Wikipedia

(本文中图片也来源于这个页面)
由于本人太菜，这里只选取其中两个公式进行总结。
（似乎就是这两个比较常用？）
首先先扔卡特兰数的定义式

Catalann=∏i=1n−1Catalani∗Catalann−i C a t a l a n n = ∏ i = 1 n − 1 C a t a l a n i ∗ C a t a l a n n − i

(卡特兰数的很多应用，比如二叉树形态数，出栈序列数等，都由这个定义式得到。详见英文维基)

公式1 (通项公式) ：

Catalann=1n+1Cn2n C a t a l a n n = 1 n + 1 C 2 n n

在上文提到的出栈序列的问题情景中，如果有 n n 个元素，在平面直角坐标系中用 x x 坐标表示入栈数， y y 坐标表示出栈数，则坐标 (a,b) ( a , b ) 表示目前已经进行了 a a 次入栈和 b b 次出栈，则再进行一次入栈就是走到 (a+1,b) ( a + 1 , b ) ，再进行一次出栈就是走到 (a,b+1) ( a , b + 1 ) 。并且，由于入栈数一定小于等于出栈数，所以路径不能跨越直线 y=x y = x
因此，题目相当于求从 (0,0) ( 0 , 0 ) 走到 (n,n) ( n , n ) 且不跨越直线 y=x y = x 的方案数
首先，如果不考虑不能跨越直线 y=x y = x 的要求，相当于从 2n 2 n 次操作中选 n n 次进行入栈，则方案数为 Cn2n C 2 n n 。
然后，考虑对于一种不合法的方案，一定在若干次操作后有一次出栈数比入栈数多一次，这个点在直线 y=x+1 y = x + 1 (即下图中红色的线) 上。那么把第一次碰到该直线以后的部分关于该直线对称，则最终到达的点是 (n−1,n+1) ( n − 1 , n + 1 ) (如下图) 。

图源：英文维基 (即文首网址)
显然，任何非法方案都可以通过此方式变成一条从 (0,0) ( 0 , 0 ) 到 (n−1,n+1) ( n − 1 , n + 1 ) 的路径，有 Cn+12n C 2 n n + 1 种。而任何合法方案由于不接触直线 y=x+1 y = x + 1 ，无论从哪个点对称都不是一条连续的路径。由于合法方案数就是 Catalann C a t a l a n n ，所以：

Catalann=Cn2n−Cn+12n=(2n)!n!∗n!−(2n)!(n+1)!∗(n−1)!=1n+1((2n)!∗(n+1)n!∗n!−(2n)!n!∗(n−1)!)=1n+1((2n)!∗(n+1)n!∗n!−(2n)!∗nn!∗n!)=1n+1∗(2n)!∗(n+1)−(2n)!∗nn!∗n!=1n+1∗(2n)!n!∗n!=1n+1Cn2n C a t a l a n n = C 2 n n − C 2 n n + 1 = ( 2 n ) ! n ! ∗ n ! − ( 2 n ) ! ( n + 1 ) ! ∗ ( n − 1 ) ! = 1 n + 1 ( ( 2 n ) ! ∗ ( n + 1 ) n ! ∗ n ! − ( 2 n ) ! n ! ∗ ( n − 1 ) ! ) = 1 n + 1 ( ( 2 n ) ! ∗ ( n + 1 ) n ! ∗ n ! − ( 2 n ) ! ∗ n n ! ∗ n ! ) = 1 n + 1 ∗ ( 2 n ) ! ∗ ( n + 1 ) − ( 2 n ) ! ∗ n n ! ∗ n ! = 1 n + 1 ∗ ( 2 n ) ! n ! ∗ n ! = 1 n + 1 C 2 n n

公式2 (递推公式) ：

Catalann+1=4n+2n+2Catalann C a t a l a n n + 1 = 4 n + 2 n + 2 C a t a l a n n

(这个公式的推导过程似乎网上没有，估计是思路太简单了……我太菜了想了半天才推出来)
由上面那个通项公式得

Catalann+1=1n+2Cn+12n+2=1n+2∗(2n+2)!(n+1)!∗(n+1)!=1n+2∗(2n)!∗(2n+1)∗(2n+2)n!∗n!∗(n+1)2=1n+2∗(2n+1)∗(2n+2)(n+1)∗1n+1∗(2n)!n!∗n!=2(2n+1)n+2∗1n+1∗Cn2n=4n+2n+2Catalann C a t a l a n n + 1 = 1 n + 2 C 2 n + 2 n + 1 = 1 n + 2 ∗ ( 2 n + 2 ) ! ( n + 1 ) ! ∗ ( n + 1 ) ! = 1 n + 2 ∗ ( 2 n ) ! ∗ ( 2 n + 1 ) ∗ ( 2 n + 2 ) n ! ∗ n ! ∗ ( n + 1 ) 2 = 1 n + 2 ∗ ( 2 n + 1 ) ∗ ( 2 n + 2 ) ( n + 1 ) ∗ 1 n + 1 ∗ ( 2 n ) ! n ! ∗ n ! = 2 ( 2 n + 1 ) n + 2 ∗ 1 n + 1 ∗ C 2 n n = 4 n + 2 n + 2 C a t a l a n n