ZJCOJ：qwb与神奇的序列（数论）

Problem D: qwb与神奇的序列

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Description

qwb又遇到了一道题目：

有一个序列，初始时只有两个数x和y，之后每次操作时，在原序列的任意两个相邻数之间插入这两个数的和，得到新序列。举例说明：

初始：1 2
操作1次：1 3 2
操作2次：1 4 3 5 2
……
请问在操作n次之后，得到的序列的所有数之和是多少？

Input

多组测试数据，处理到文件结束（测试例数量<=50000）。

输入为一行三个整数x，y，n，相邻两个数之间用单个空格隔开。（0 <= x <= 1e10, 0 <= y <= 1e10, 1 < n <= 1e10）。

Output

对于每个测试例，输出一个整数，占一行，即最终序列中所有数之和。
如果和超过1e8，则输出低8位。（前导0不输出，直接理解成%1e8）

Sample Input

1 2 2

Sample Output

思路：每一项的中间部分贡献X2，左右两个数贡献X1，于是ai = ai-1 + [ai-1-(x+y)]*2 + (x+y)，化简得a1 = x+y，ai = 3*ai-1  -  (x+y) ，i>1，再化简得ai = (3^n + 1)/2 * (x+y)。

3^n用快速幂解决，因为要除二又要取模，需要用逆元转换一下。

#include 
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod = 1e8;

LL qmod(LL a, LL b, LL mo)
{
    LL ans = 1, pow = a;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans = ans*pow%mo;
        pow = pow*pow%mo;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL x, y, n;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&n))
    {
        LL ans = ((((qmod(3, n, mod*2)+1)/2))%mod*(x+y)%mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}