线性筛各种数

怎么筛质数？有一种很简单的方法，1到n枚举，是质数就把他所有的倍数打一个合数标记，然后就完了。但是我们有一个问题，比如说30，它会被2筛掉，被3筛掉，被5筛掉。这样复杂度就不会很优秀，我们有什么做法让30只被2筛，不被3和5筛掉呢？

于是我们换一种筛法，据说叫做欧拉筛。就是对于每一个数，我们用小于它的质数乘上它，然后把那个数筛掉。重要的是，如果这个数可以整除当前质数，就break掉。这样我们就很惊奇地发现，每个数我们都筛且只筛了一次。这是为什么呢，我们再画一个图。

上面筛不到，下面一定有一个把它筛掉对不对？而且这么做有一个性质，我们可以保证每一个数都被它最小的质数筛掉。这样，我们发现积性函数是非常好筛的。比如说 miu m i u （莫比乌斯函数），我们分三种情况讨论一下：

1.x是一个质数： miu(x)=−1 m i u ( x ) = − 1

2.x最小的质数只有一次，记它为 p,miu(x)=miu(xp)∗miu(p) p , m i u ( x ) = m i u ( x p ) ∗ m i u ( p ) 因为是积性函数， xp x p 与 p p 互质

3.x最小的质数不止一次， miu(x)=0 m i u ( x ) = 0

很显然，我们线筛的时候有一个质数表作为副产品。

贴一波代码

void shai()  
{  
    vis[1]=1;miu[1]=1;//特殊处理1的情况   
    for(int i=2;i<=n;i++)  
    {  
        if(vis[i]==0) p[++cnt]=i,miu[i]=-1;//质数情况，miu为-1   
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)  
        {  
            if(i%p[j]==0)//可以整除的话，最小质数至少次数为2，所以miu为0   
            {  
                vis[i*p[j]]=1;  
                miu[i*p[j]]=0;  
                break;//保证复杂度为O（1）   
            }  
            miu[i*p[j]]=miu[i]*miu[p[j]];//不能整除，两个互质，则满足积性函数条件   
            vis[i*p[j]]=1;  
        }  
    }  
}  

所有线筛的板子都是这样的，可以思考一下 phi p h i （欧拉函数）的筛法。
然后我们还可以拓展一下，我们不止可以筛积性函数，还可以筛一些非积性函数。

比如这个函数： f(x)=x f ( x ) = x 分解质因数的最高次幂，特殊的 f(1)=0 f ( 1 ) = 0

1.质数情况： f(x)=1 f ( x ) = 1

2.x最小的质数只有一次，记它为 p，f(x)=max{f(xp),1} p ， f ( x ) = m a x { f ( x p ) , 1 }

3.x最小的质数不止一次，记它为 p p ，记它的次数为 c c ： f(x)=max{f(xp),c} f ( x ) = m a x { f ( x p ) , c }

那么问题来了，我们如何才能 O(1) O ( 1 ) 查询 c c 咧？所以我们还要和 f f 一起筛 c c

1.质数情况： c(x)=1 c ( x ) = 1

2. x x 最小的质数只有一次: c(x)=1 c ( x ) = 1

3. x x 最小的质数不止一次,记它为 p:c(xp)+1 p : c ( x p ) + 1

然后我们把质数 ,f，c , f ， c 一起筛，就可以 O(n) O ( n ) 得到 f f 了。

总结一下，线性筛法不止可以筛积性函数，还可以筛一些有特点的非积性函数，这些函数一般与因数或者质因数有关。判断一个函数是否可以线性筛，我们不需要判断它是不是积性函数，我们只要判断它在以上三种情况的取值就行。但是在某些情况十分复杂的时候，我们很难笔算出各情况的取值。于是我们可以 O(n2) O ( n 2 ) 打表找一找规律，有时候有奇效。可能笔算很难推的式子规律却很简单。不过值得注意的是，打表也不一定找得到规律，找规律的时候一定要大开脑洞。具体情况还是要具体分析，对于不同的题目可能用不同的方法，会简化很多。