[34] Vijos P1002 过河（动态规划+状态压缩）

1002过河

Accepted

标签： 动态规划 NOIP提高组2005

描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。

格式

输入格式

输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例1

样例输入1[复制]

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出1[复制]

2

限制

1s

来源

NOIp2005 第二题

样例分析

青蛙要沿着长度为10的桥过河

青蛙每次跳的最短距离为2，最长距离为3，有五个石子

石子的位置为2 3 5 6 7

问青蛙最少踩到几粒石子？

位置  是否有石子 到该点时最少踩到的石子

==============================

  1 0  0

  2              1                      1

  3              1                       1

  4              0                       1

  5              1                       2

  6              1                       2

  7              1                       2

  8              0                       2

  9              0                      2

  10            0                       2

      f[i]表示到i点时所踩到的最少石子数，则f[i]=min(f[i-j]+v[i],f[i])，其中，v[i]表示第i点是否有石子，s=

      最直接的想法就是i的枚举范围为桥的长度L，但L<=10^9，显然太大，石子m<=100，石子很少， 意味着石子之间有很长的距离，s<=t<=10，，青蛙每一次跳的距离很短，也就是跳很多次都不会踩到石子，对结果没影响，这部分可以考虑压缩。

考虑最极端的情况，s=9，t=10，列出所有可能踩到的石子

第1步：9，10

第2步：18，19，20

第3步：27，28，29，30

第4步： 36，37，38，39，40

第5步：45，46，47，48，49，50

第6步：54 ，55，56，57，58，59，60

第7步：63，64，65，66，67，68，69，70

第8步：72，73，74，75，76，77，78，79，80

第9步：81，82，83，84，85，86，87，88，89，90

到此，第8步和第9步之间已经是步步可达了，这也意味若两石子的距离超过一定的数值，不管青蛙怎么跳，都不影响到状态值，因为可以压缩，很容易发现当s,t的数值比9和10小时，会在更短的距离内步步可达，因此可将此数值定为90。

特例，如果s==t，显然不能用上面的办法，但也很容易实现，石子的位置只要在s的倍数上，则一定可达。

另外需要特别注意的，题目中并未声明石子的位置是按顺序提供的，因此需要排序

代码

#include 
#include 
#include 
#define N 105
#define MAX 10001
using namespace std;
int len,s,t,m,ans,tot;
int a[N],v[MAX],f[MAX];
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&len,&s,&t,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	  cin>>a[i];
	if(s==t)
	{
	  for(int i=1;i<=m;i++)
	    if(a[i]%s==0)
	      ans++;
	  printf("%d\n",ans);
	  return 0;
	}
	sort(a+1,a+1+m);
	v[tot=a[1]%90]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	  v[tot+=(a[i]-a[i-1])%90]=1;
	for(int i=tot;i>=0;i--)
	{
		f[i]=100;
		for(int j=s;j<=t;j++)
		  f[i]=min(f[i],f[i+j]+v[i]);
	}
	printf("%d\n",f[0]);
	return 0;
}

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