离散数学笔记系列（八）
图论笔记：
- 一、图的基本概念和定理：
- 图的描述：
- 图的关系：
- 图的连通：
- 二、欧拉图和哈密顿图：
- 欧拉通路：
- 欧拉回路：
- 哈密顿通路：
- 哈密顿回路：
- 三、匹配问题：
- 匹配 / 边独立集：
- 交错路径 / 可增广路径：
- 霍尔婚姻定理：
- 四、树：
- 树：
- 有根树：
- 生成树：
- 二叉树：
一、图的基本概念和定理：
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图的描述：
| 概念 | 释义 | 性质 / 定理 |
|---|---|---|
| 图 | 图是一个三元组： G = ( V , E , φ ) G = (V,E,\varphi) G=(V,E,φ)，其中：V是代表顶点的非空集合，E是代表边的非空集合， φ : E → V \varphi:E\rightarrow V φ:E→V是边到其至多2个端点的映射，把端点组成的集合称为该边的端点集 | 特殊地， 当E为无向边集，则称图G为无向图； 当E为有向边集，则称图G为有向图， 其中每条有2个端点的边的端点分别称为起点和终点； 当 ∣ V ∣ = 1 且 ∣ E ∣ = 0 \mid V\mid = 1 且\mid E\mid = 0 ∣V∣=1且∣E∣=0时，称G为平凡图 |
| 简单图 | 没有平行边（即不同边有不同端点集）和没有自环（即每条边都有2个端点）的图，同理可得简单有向图的定义 | 若 ∣ V ∣ = n \mid V \mid = n ∣V∣=n，则 ∣ E ∣ ≤ n ( n + 1 ) 2 \mid E \mid \le \frac{n(n+1)}{2} ∣E∣≤2n(n+1) |
| 伪图 | 非简单图的图，即存在平行边或自环的图 | |
| 补图 | 设 G = ( V , E ) G = (V,E) G=(V,E)， G ′ = ( V ′ , E ′ ) G' = (V',E') G′=(V′,E′)，若 V = V ′ V=V' V=V′且 E ⋂ E ′ = ∅ 且 E ⋃ E ′ = V × V E\bigcap E'= \empty 且 E\bigcup E' = V\times V E⋂E′=∅且E⋃E′=V×V，则称 G ′ G' G′是 G G G的补图 | |
| 带权图 | 若图的点或边被赋予了特定的权值，则称这样的图为带权图 | |
| 图同构 | 设 G 1 = ( V 1 , E 1 , φ 1 ) G_1=(V_1,E_1,\varphi_1) G1=(V1,E1,φ1)和 G 2 = ( V 2 , E 2 , φ 2 ) G_2 = (V_2,E_2,\varphi_2) G2=(V2,E2,φ2)是两个简单无向图，若存在双射 f : V 1 → V 2 f:V_1\rightarrow V_2 f:V1→V2，使得 u u u和 v v v在 G 1 G_1 G1中相邻当且仅当 f ( u ) f(u) f(u)和 f ( v ) f(v) f(v)在 G 2 G_2 G2中相邻，则称 G 1 G_1 G1和 G 2 G_2 G2同构，且 f f f称为同构映射 | |
| 二部图 | 设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)是一个无向图，若存在V的一个划分 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2，使得图中的任意边e所关联的两个顶点u和v分别属于这两个划分，则称图G为一个二部图 | ①简单图G是二部图，当且仅当G中没有奇圈 |
| 特殊图 | 结构特殊且顶点数确定后同构意义下唯一的一类图称为特殊图，常见的有完全图 K n K_n Kn，完全二部图 K r , s K_{r,s} Kr,s，圈图 C n C_n Cn，轮图 W n W_n Wn，立方图 Q n Q_n Qn | |
| 底图 | 若G为有向图，则将每条有向边替换为无向边后得到的图G’称为有向图G的底图 | 底图为完全图的有向图称为竞赛图 |
| 子图 | 设 G = ( V , E ) G = (V,E) G=(V,E)， G ′ = ( V ′ , E ′ ) G' = (V',E') G′=(V′,E′)，若 V ′ ⊆ V , E ′ ⊆ E V'\subseteq V,E'\subseteq E V′⊆V,E′⊆E，则称G‘是G的子图 | 点导出子图：若子图G’满足 V ′ = V V' = V V′=V，则称G‘为G的点导出子图； 边导出子图：若子图G’满足 E ′ = E E' = E E′=E，则称G‘为G的边导出子图 |
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图的关系：
| 概念 | 释义 | 性质 / 定理 |
|---|---|---|
| 点点相邻 | 若图中两点均在某条边的端点集中，则称该两点相邻 | 根据点点的相邻与否，可以构建 ∣ V ∣ × ∣ V ∣ \mid V\mid \times \mid V\mid ∣V∣×∣V∣的0-1矩阵，称该矩阵为邻接矩阵 |
| 边点关联 | 若某点属于某边的端点集，则称该点和该边关联 | 根据边点的关联与否，可以构建 ∣ E ∣ × ∣ V ∣ \mid E\mid \times \mid V\mid ∣E∣×∣V∣的0-1矩阵，称该矩阵为邻接表 |
| 度数 | 若G为无向图，则与某顶点v相关联的边数（若存在自环，则自环相当于两条边）称为该顶点的度数，记为 d ( v ) d(v) d(v)； 若G为有向图，则与某顶点相关联且以该顶点为起点的边数称为该顶点的出度，记为 d + ( v ) d^+(v) d+(v)，反之称为该顶点的入度，记为 d − ( v ) d^-(v) d−(v) |
① ∑ d + ( v i ) = ∑ d − ( v i ) \sum d^+(v_i) = \sum d^-(v_i) ∑d+(vi)=∑d−(vi)； ② 握手定理： ∑ d ( v i ) = 2 ∣ E ∣ \sum d(v_i) = 2\mid E\mid ∑d(vi)=2∣E∣； => ③ 无向图奇数度顶点必有偶数个； ④度序列存在定理：非负整数序列 { d 1 , d 2 , . . . , d n } \{d_1,d_2,...,d_n\} {d1,d2,...,dn}是某图的度数序列当且仅当 ∑ d i \sum d_i ∑di为偶数 |
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图的连通：
| 概念 | 释义 | 性质 / 定理 |
|---|---|---|
| 通路 | 图G中从 v 0 v_0 v0到 v n v_n vn的长度为n的通路是指G的n条边 e 1 , e 2 , . . , e n e_1,e_2,..,e_n e1,e2,..,en的序列，且其满足： ∃ v i ∈ V , 使 得 v i − 1 和 v i 是 e I 的 两 个 端 点 ( 1 ≤ i ≤ n ) \exists v_i \in V,使得v_{i-1}和v_i是e_I的两个端点(1\le i\le n) ∃vi∈V,使得vi−1和vi是eI的两个端点(1≤i≤n) | 简单通路：不存在重复边的通路； 回路： v 0 = v n v_0=v_n v0=vn的通路； 简单回路：不存在重复边的回路； ①若无向图G的顶点数等于边数，则图G有且仅有一条简单回路； ②若 δ ( G ) ≥ 2 \delta(G)\ge 2 δ(G)≥2，则G包含至少一条简单回路 |
| 连通 | 若图G中任意两个顶点之间都存在通路，则称图G为连通图 | 弱连通：若图G为有向图，且其底图连通，则称该有向图弱连通； 单连通：若图G为有向图。且其任意两个顶点之间仅有一条有向通路，则称G单连通； 强连通：若图G为有向图。且其任意两个顶点之间都有至少两条到达彼此的有向通路，则称G强连通； ①补图连通定理：若无向简单图G不连通，则G的补图一定连通 |
| 连通分量 | 若图G中存在一个子图G’，且G‘是连通图，则称G’是G的一个连通分量 | 极大连通分量：若G‘是G的一个连通分量，且 ∀ v ∈ G 且 v ∉ G ′ , G ′ + v \forall v \in G 且 v\notin G', G'+v ∀v∈G且v∈/G′,G′+v不再连通，则称G’为G的一个极大连通分量 |
| 连通度 | 若图G删除任意k个顶点及其相关联的边 / k条边之后仍然连通，但是存在k+1个顶点 / k+1条边，使得图G删之后不再连通，则称图G的（点）连通度 / 边连通度为k，记为 κ ( G ) \kappa(G) κ(G) / λ ( G ) \lambda(G) λ(G) | k-连通图：若图G的连通度不小于k，则称G为k-连通图； k-边连通图：若图G的边连通度不小于k，则称G为k-边连通图； ① 连通度不等式：设G是非平凡的简单图，则 κ ( G ) ≤ λ ( G ) ≤ δ ( G ) \kappa(G)\le \lambda(G) \le \delta(G) κ(G)≤λ(G)≤δ(G)； => ② 设G是简单图, ∣ V ∣ = n ≥ 3 \mid V\mid = n \ge 3 ∣V∣=n≥3且 δ G ≥ n − 2 \delta_G \ge n-2 δG≥n−2，则 κ ( G ) = λ ( G ) = δ ( G ) \kappa(G) = \lambda(G) = \delta(G) κ(G)=λ(G)=δ(G)； ③ W i t n e y Witney Witney定理：图G是2-连通图当且仅当G中任意两点被至少2条除端点之外顶点不相交的路径所连接； => ④有向图G是强连通 / 单连通的当且仅当G中所有顶点都在一个有向回路 / 有向通路上； ⑤ M e n g e r Menger Menger定理：图G是 k-连通图 / k-边连通图 当且仅当G中任意两点被至少 k条除端点之外顶点不相交的路径 / k条边不相交的路径 所连接 |
| 割点 | 若 v ∈ G v\in G v∈G，且去掉v及其相关联的边之后，图G的连通分量数增加，则称v是G的一个割点 | 等价定义：存在 V − { v } V-\{v\} V−{v}的一个划分 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2，使得 ∀ u ∈ V 1 , w ∈ V 2 \forall u\in V_1,w\in V_2 ∀u∈V1,w∈V2，uw之间的通路必定通过v |
| 割边 | 若 e ∈ G e\in G e∈G，且去掉e之后，图G的连通分量数增加，则称e是G的一条割边 | 等价定义：存在 V V V的一个划分 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2，使得 ∀ u ∈ V 1 , w ∈ V 2 \forall u\in V_1,w\in V_2 ∀u∈V1,w∈V2，uw之间的通路必定包含e ⇔ \Leftrightarrow ⇔ e不在G的任意简单回路上； ①去掉一边最多增加一个连通分量； ②设G是简单图, ∣ V ∣ = n ≥ 3 \mid V\mid = n \ge 3 ∣V∣=n≥3，且e是G的割边，则e的两个顶点至少有一个为G的割点 |
二、欧拉图和哈密顿图：
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欧拉通路：
设图G是连通图，则包含图G中每条边的简单通路称为欧拉通路，若图G存在欧拉通路，则称图G为半欧拉图
=> 判定定理1：设图G是无向连通图，图G是半欧拉图当且仅当G恰有两个奇度顶点，其余点都为偶度点
=> 判定定理2：设图G是有向连通图，图G是半欧拉图当且仅当G恰有两个顶点，其中一个顶点的入度比出度多1，另外一个点的出度比入度多1，其余点的入度等于出度
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欧拉回路：
设图G是连通图，则包含图G中每条边的简单回路称为欧拉回路，若图G存在欧拉回路，则称图G为欧拉图
=> 充要条件1：设图G是无向连通图，图G是欧拉图当且仅当G所有顶点都为偶度点
=> 充要条件2：设图G是有向连通图，图G是欧拉图当且仅当G所有顶点的入度等于出度
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哈密顿通路：
设图G是连通图，则包含图G中每个顶点的简单通路称为哈密顿通路，若图G存在哈密顿通路，则称图G为半哈密顿图
=> 充分条件1（ O r e Ore Ore定理）：设图G是无向简单图，若对于G中任意不相邻的两个顶点u,v，均满足： d ( u ) + d ( v ) ≥ n − 1 d(u)+d(v) \ge n-1 d(u)+d(v)≥n−1，则图G为半哈密顿图
=> 充分条件2：若图G为完全图 / 竞赛图， 则图G一定为半哈密顿图
=> 充分条件3：若图G为完全二部图 K r , r K_{r,r} Kr,r，则图G一定为半哈密顿图
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哈密顿回路：
设图G是连通图，则包含图G中每个顶点的简单回路称为哈密顿回路，若图G存在哈密顿回路，则称图G为哈密顿图
=> 充分条件1（ O r e Ore Ore定理）：设图G是无向简单图，若对于G中任意不相邻的两个顶点u,v，均满足： d ( u ) + d ( v ) ≥ n d(u)+d(v) \ge n d(u)+d(v)≥n，则图G为哈密顿图
=> 充分条件2（ D i r c Dirc Dirc定理）：设图G是无向简单图， ∣ G ∣ = n ≥ 3 |G| = n \ge 3 ∣G∣=n≥3，若 δ ( G ) ≥ n 2 \delta(G) \ge \frac{n}{2} δ(G)≥2n，则图G为哈密顿图=> 必要条件：若图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)是哈密顿图，则对于V的任一非空子集S，均满足： P ( G − S ) ≤ ∣ S ∣ P(G-S)\le |S| P(G−S)≤∣S∣，其中 P ( G ) P(G) P(G)表示图G的连通分支数
三、匹配问题：
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匹配 / 边独立集：
设图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，则 M ⊆ E M \subseteq E M⊆E为G的匹配 / 边独立集 当且仅当：
∀ e 1 , e 2 ∈ M \forall e_1,e_2 \in M ∀e1,e2∈M ,均有 e 1 e_1 e1与 e 2 e_2 e2在G中不相邻，并称 ∣ M ∣ |M| ∣M∣为M的匹配数，记为 β 1 ( M ) \beta_1(M) β1(M)=> 极大匹配：设M是G的一个匹配，若 ∀ e ∈ G , 且 e ∉ M \forall e \in G, 且e\notin M ∀e∈G,且e∈/M， M + e M+e M+e不再是匹配，则称M为极大匹配
=> 最大匹配：匹配数最大的匹配
=> 完美匹配：设M是G的一个匹配，若其覆盖了所有顶点，则称M为完美匹配
=> 饱和点：设M是G的一个匹配，若G中顶点v与M中的边关联，则称v是M-饱和的，否则称为M-不饱和的
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交错路径 / 可增广路径：
设M是G的一个匹配，若存在G中的路径P，使得M与 E − M E-M E−M中的边在P中交替出现，则称P为M-交错路径；
设M是G的一个匹配，若交错路径P的起点与终点都是M-非饱和点，则称P是M-可增广路径
=> 可增广路径增广定理：若P是G的一条M-可增广路径，则交换其中的匹配边和非匹配边，则其中所包含的匹配M‘满足： β 1 ( M ′ ) = β 1 ( M ) + 1 \beta_1(M') = \beta_1(M)+1 β1(M′)=β1(M)+1
=> 最大匹配定理：M是G的最大匹配当且仅当G中不含M-可增广路径
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霍尔婚姻定理：
设二部图 G = ( V 1 , V 2 , E ) G = (V_1,V_2,E) G=(V1,V2,E)， ∣ V 1 ∣ ≤ ∣ V 2 ∣ |V_1|\le|V_2| ∣V1∣≤∣V2∣，
则G存在完美匹配当且仅当 V 1 V_1 V1中的任意k个顶点至少与 V 2 V_2 V2中的k个顶点相邻( 1 ≤ k ≤ ∣ V 1 ∣ 1\le k \le |V_1| 1≤k≤∣V1∣)
四、树：
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树：
不含回路的连通简单图称为树
特殊地，若图为无向图，则称为无向树；
若图为有向图而其底图为无向树，则称为有向树=> 树是边最少的连通图，且 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ = ∣ V ∣ − 1 |V|-1 ∣V∣−1
=> 树的每条边都是割边
=> 树路径唯一定理：对于树T中任意两个顶点u和v，则在T中存在唯一的uv路径
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有根树：
若n阶有向树恰含一个入度为0的点，而其余顶点入度均为1，则称该有向树为有根数，其中入度为零的点称为根，根所相邻的节点称为其子节点
=> 子树：若去掉根后，根的每个子节点也满足根的条件，则称以根的子节点为根的树为原树的子树，特殊地，若该子树仅有根节点，则称该节点为原树的叶子节点
=> 高度：从根到叶子节点的最长简单路径长度称为该树的高度；对于每个节点而言，将以该节点为根的子树的高度定义为该节点的高度（规定叶子节点的高度为0）
=> 深度：从叶子节点到根的最长简单路径长度称为该树的深度；对于每个节点而言，将以该节点到根的最长简单路径长度定义为该节点的深度（规定根的深度为0）
=> 前序遍历：根 → \rightarrow →左子树 → \rightarrow →右子树
=> 中序遍历：左子树 → \rightarrow →根 → \rightarrow →右子树
=> 后序遍历：左子树 → \rightarrow →右子树 → \rightarrow →根
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生成树：
若图G的生成子图是树，则称该子图为G的生成树
=> 生成树存在定理：无向图G有生成树当且仅当G连通
=> 最小生成树：若图G为带权图，则称其权值之和最小的生成树为最小生成树，
=> 最小生成树判定定理：图G的某生成树T为最小生成树，当且仅当其拥有最小生成树性质： ∀ e ∈ G , 且 e ∉ T \forall e \in G, 且e\notin T ∀e∈G,且e∈/T，均能使得 T + { e } T+\{e\} T+{e}构成一个环，且e是该环上的最大权边
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二叉树：
每个顶点最多只有2个子节点的有根树称为二叉树，按照顺序可以将以根的2个子节点为根的子树分别称为左子树和右子树
=> 完全二叉树：若二叉树的每个节点要么没有子节点（即叶子节点），要么一定有2个子节点，称这样的二叉树为完全二叉树，记为 2 − t r e e 2-tree 2−tree
=> 平衡二叉树：若二叉树的任意节点的左右子树的高度之差不大于1，则称该二叉树为平衡二叉树
=> 二叉树的权：若T是二叉树，且每个叶子节点 v 1 , v 2 , . . , v n v_1,v_2,..,v_n v1,v2,..,vn带权 w 1 , w 2 , . . , w n w_1,w_2,..,w_n w1,w2,..,wn，则二叉树T的权定义为：
W ( T ) = ∑ w i l ( v i ) W(T) = \sum w_il(v_i) W(T)=∑wil(vi)，其中 l ( v i ) l(v_i) l(vi)表示 v i v_i vi的深度=> 最优二叉树：具有相同权序列 w 1 , w 2 , . . , w n w_1,w_2,..,w_n w1,w2,..,wn且树权 W ( T ) W(T) W(T)最小的二叉树，称为对应权序列的最优二叉树