Vijos-P1057题解【动态规划】

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题目出处：

https://www.vijos.org/p/1057

题目描述：

给一个N*M的土地，由0和1表示，0表示瑕疵，1表示完好，找出最大的完好的正方形土地？

输入：

输入文件第一行为两个整数n,m（1<=n,m<=1000），接下来n行，每行m个数字，用空格隔开。0表示该块土地有瑕疵，1表示该块土地完好

4 4

0 1 1 1

1 1 1 0

0 1 1 0

1 1 0 1

思路分析：

首先看数据范围，1~1000，存储地图需要O(n*m)的内存空间，空间复杂度可控；再看时间复杂度，遍历所有点为O(n*m)；

为什么要先分析空间及时间复杂度呢？因为很多时候，数据规模就决定了算法，如果数据规模为1~1000000000，你还会考虑O(n*n)的算法吗，肯定不会，这种数据一看就知道最优解法为线性复杂度O(n)的算法；

列举如下3处情况：图中彩色方框都为1，白色方框都为0

假设地图中存在一个最大的正方形，则该正方形存在一个右下角P点，且该点为1；

如果当某一个点P(i,j)为0时，则以该点为右下角不存在正方形，所以该点也不可能在最大的正方形中。

不同情况列举：

图P1.1

当P(i,j)=1时，可以看出以P为右下角，最优解由红色边长决定，即以P点为起点，向左连续为1的最多个数，木桶原理

图P1.2

当P(i,j)=1时，可以看出以P为右下角，最优解由紫色边长决定，即以M点为右下角能组成的最大的正方形

图P1.3

当P(i,j)=1时，可以看出以P为右下角，最优解由绿色边长决定，即以P点为起点，向上连续为1的最多个数

 

则可以建立如下DP公式

设f[i][j]：以点(i,j)为右下角，能组成的最大正方形边长

left[i][j]：以点(i,j)为起点，向左最大连续1的个数，提前初始化

up[i][j]：以点(i,j)为起点，向上最大连续1的个数，提前初始化

f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+1, left[i][j], up[i][j])

注：地图为一行或者一列时，提前预处理，方便后面递推

C++源码如下：

github: https://github.com/Kyle-Wilson1/Vijos/tree/master/P1057

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

struct Node {
    int left, up;
};

int main() { ifstream cin("a.in"); ofstream cout("a.out"); vector> f(1000, vector(1000, 0)); vector> map(1000, vector(1000, 0)); Node initNode{0, 0}; vector> node(1000, vector(1000, initNode)); int n, m, i, j, maxSquare = 0; cin >> n >> m; //input for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < m; j++) cin >> map[i][j]; //init left for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < m; j++) { if (j == 0) { if (map[i][j] == 1) { node[i][j].left = 1; } else { node[i][j].left = 0; } } else { if (map[i][j] == 1) { node[i][j].left = node[i][j - 1].left + 1; } else { node[i][j].left = 0; } } } //init up for (j = 0; j < m; j++) for (i = 0; i < n; i++) { if (i == 0) { if (map[i][j] == 1) { node[i][j].up = 1; } else { node[i][j].up = 0; } } else { if (map[i][j] == 1) { node[i][j].up = node[i - 1][j].up + 1; } else { node[i][j].up = 0; } } } auto maxOfTwo = [](int a, int b) { return a > b ? a : b; }; auto minOfThree = [](int a, int b, int c) { return a < b ? a < c ? a : c : b < c ? b : c; }; //dynamic programming for (i = 0; i < n; i++) { if (map[i][0] == 1) { f[i][0] = 1; maxSquare = 1; } else f[i][0] = 0; } for (j = 1; j < m; j++) { if (map[0][j] == 1) { f[0][j] = 1; maxSquare = 1; } else f[0][j] = 0; } for (i = 1; i < n; i++) for (j = 1; j < m; j++) { f[i][j] = minOfThree(node[i][j].left, node[i][j].up, f[i - 1][j - 1] + 1); maxSquare = maxOfTwo(f[i][j], maxSquare); } cout << maxSquare; cin.close(); cout.close(); return 0; }

 

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