高斯消元

我们看下面这个例题:

高斯消元_第1张图片

我们该如何求解方程组?
我们考虑加减消元。第j行减去第i行的元素的k倍,使得要消去的元的系数变为0(用第i行消去第j行)。
直到最后一个式子仅剩一个元,则可求出该元,再回代到前面的式子求出其他元。
这里介绍矩阵的解法:
我们将方程的系数和等式右边的数提出来,组成以下的增广矩阵:

高斯消元_第2张图片

然后用矩阵的初等变换进行化简(相当于加减消元的思想), 使其左边部分(前n列)形成一个上三角矩阵。

显然x4的值可以直接得出,带入上一个式子可求x3……一直代入上式就可求出每个元。

实现:

首先我们需要用第一列中(所有的 xx 中)系数最大的来消其他两个式子。而这里为了方便起见,我们将这个选中的系数置为 1,方便上例中地不断带回原式的操作(这样在回带的时候就可以不考虑原本的系数了)。

由于最多也只能用 double 型存储,所以必然会有精度误差。但如果我们每次都选用最大系数的来消掉其他系数,就可以最大程度地来减小误差。接着我们用这一行去消掉下面的未知数。

当我们得到了上三角矩阵,就可以进行回代了。

顺便说一下如何判断解的情况:

当增广矩阵左侧(就是元的系数)都为0,且右边的数字不全为0,那么显然是无解的

当增广矩阵全是0,显然有无穷多解。(因为xi可以取任意值嘛)

代码实现如下:板子题

#include//我觉得只要思维清晰,数论问题代码都是好懂的,看不明白可以结合数学的过程(数学真有趣qwq) 
#include
#include
#include
using namespace std;
double a[110][110],ans[110];
int n;
double eps=1e-7;//这是来控制精度的,因为当一个数小于精度范围,我们是把它视为0的 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n+1;j++)
    scanf("%lf",&a[i][j]);//读入增广矩阵 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int k=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        if(fabs(a[k][i])//fabs()是求double型变量的绝对值 
        k=j;                            //我们去寻找这一列中最大元素在哪一行,然后同第一行交换。 
        if(i!=k)swap(a[i],a[k]);
        if(fabs(a[i][i])<eps)
        {
            printf("No Solution");//因为a[i][i]是这一列最大的,如果它都是0,说明这一列的系数均为0。我们就求不出这个元了,故无解(或有无穷多解) 
            return 0;
        }
        double div=a[i][i];
        for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=div;//现将我们规定的这个数置为1 
        for(int j=1;j<=n;j++)//用这一行进行加减消元消掉其他式子中该未知数 
        {
            if(i==j)continue;
            div=a[j][i];
            for(int k=1;k<=n+1;k++)
            a[j][k]-=div*a[i][k];
        }
    }
    ans[n]=a[n][n+1];//以下是回代过程 
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
    {
        ans[i]=a[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        ans[i]-=ans[j]*a[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.2lf\n",ans[i]);
}

 不过说实在的,这个板子的数据实在水,甚至你写错了也能过,我们还是看一个良心一点的板子题吧:

[SDOI2006]线性方程组

这道题具体考你解的情况了,你就不能No Solution后return 0;了,尽管你知道它肯定无解,你也要完成消元过程再判断解的情况了。

至于怎么判断,就像上面所说过的那样(克拉默法则)

代码如下:

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
double a[110][110],ans[110];
int n;
double eps=1e-7;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n+1;j++)
    scanf("%lf",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int k=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        if(fabs(a[k][i])<fabs(a[j][i]))
        k=j;
        if(i!=k)swap(a[i],a[k]);
        if(fabs(a[i][i])<eps)
        continue;
        double div=a[i][i];
        for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=div;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            div=a[j][i];
            for(int k=1;k<=n+1;k++)
            a[j][k]-=div*a[i][k];
        }
    }
    int x=0;
    int y=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j=1;
        while(fabs(a[i][j])1)j++;
        if(j>n+1)
        x=1;//无穷多解 
        else 
        if(j==n+1)
        y=1;//无解 
    }
    if(y)
    {
        printf("-1");
        return 0;
    }
    if(x)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    ans[n]=a[n][n+1];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
    {
        ans[i]=a[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        ans[i]-=ans[j]*a[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<"x"<"=";
        if(ans[i]==0)cout<<0<<endl;
        else
        printf("%.2lf\n",ans[i]);
    }
}

总结:高斯消元是虽然是0(n3)的算法,但还是挺有用的,至少做数学作业方便多了(逃)

转载于:https://www.cnblogs.com/zzh666/p/8995728.html

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