题解【luogu P2421 bzoj P1407 [NOI2002]荒岛野人】

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题目大意：给定 n n 组 Ci,Pi,Li C i , P i , L i ，求最小的 M M 使得对于任意的 i,j(1≤i,j≤n) i , j ( 1 ≤ i , j ≤ n )

Ci+Pi×x≡Cj+Pj×x(modM) C i + P i × x ≡ C j + P j × x ( mod M )

不成立

（这里的不成立指的是无解或者解出来的 x<min(Li,Lj) x < min ( L i , L j ) ,即相遇之前有一人死掉

其中 x x 为正整数（就是走了 x x 天相遇)

分析

从小到大枚举 M M （注意没有单调性不能二分）

原式可变形为

Ci+Pi×x=Cj+Pj×x+M×y C i + P i × x = C j + P j × x + M × y

(Pi−Pj)×x−M×y=Cj−c=Ci ( P i − P j ) × x − M × y = C j − c = C i

若无解，则此时的 M M 为所求
若有解，用扩展欧几里得解出该方程的最小解 xmin x m i n 。
如果 xmin<min(Li,Lj) x m i n < min ( L i , L j ) ，问题解决；否则继续枚举

代码:

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int n, C[20], p[20], l[20], mx = -1;
inline int gcd(int a, int b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}             
inline void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b) { x = 1, y = 0; return ; }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x; x = y, y = t - (a / b) * y;
}
inline bool check(int m)
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            int a = p[j] - p[i], b = m, c = C[i] - C[j], x = 0, y = 0, g = gcd(a, b);
            if(c % g == 0)
            {
                a /= g, b /= g, c /= g;
                exgcd(a, b, x, y);
                b = abs(b);
                x = ((x * c) % b + b) % b;
                if(!x) x += b;
                if(x <= min(l[i], l[j])) return false;
            }
        }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &C[i], &p[i], &l[i]); 
        mx = max(mx, C[i]);
    }
    for(int i = mx;;i++)
        if(check(i))
        {
            printf("%d\n", i);
            return  0;
        }
    return 1；//防抄
}