拓扑排序

拓扑排序

什么是拓扑排序：

• 拓扑排序就是将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若 ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

拓扑排序的特性：

• 若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。
• 当有向图中存在有向环时，拓扑序列不存在，即不能对该图进行拓扑排序。
• 一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。
  
• 一个DAG可能有多个拓扑序列。

拓扑排序的方法：

• 无前趋的顶点优先的拓扑排序方法
  • 该方法的每一步总是输出当前无前趋(即人度为零)的顶点，其抽象算法可描述为：

  • NonPreFirstTopSort(G)
    {
        //优先输出无前趋的顶点
        while(G中有人度为0的顶点)
        {
            　从G中选择一个人度为0的顶点v且输出之；
            　从G中删去v及其所有出边；　
        }
        if(输出的顶点数目<总节点数)
        {
            　//若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出，排序成功。
            　Error("G中存在有向环，排序失败！")；　　
        }
    }

  • 注意事项：
    • 注意保存各个节点当前的入度，可设一个栈或队列暂存所有入度为零的顶点。
    • 在开始排序前，扫描对应的存储空间，将人度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选人度为零的顶点时，只需做出栈(队)操作即可。
      
• 无后继的顶点优先拓扑排序方法
  • 思想方法：
    • 该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点。对于一个DAG，按此方法输出的序列是逆拓扑次序。
    • 因此设置一个栈(或向量)T来保存输出的顶点序列，即可得到拓扑序列。
    • 若T是栈，则每当输出顶点时，只需做人栈操作，排序完成时将栈中顶点依次出栈即可得拓扑序列。
    • 若T是向量，则将输出的顶点从T[n-1]开始依次从后往前存放，即可保证T中存储的顶点是拓扑序列。
      
  • 抽象算法描述：

    • NonSuccFirstTopSort(G)
      {
          //优先输出无后继的顶点
          while(G中有出度为0的顶点)
          {
              从G中选一出度为0的顶点v且输出v；
              从G中删去v及v的所有人边
          }
          if(输出的顶点数目<|V(G)|)
          {
              Error("G中存在有向环，排序失败!")；
          }
      }

  • 备注：
    • 在对该算法求精时，可用逆邻接表作为G的存储结构。
    • 设置一个向量outdegree[0..n-1]或在逆邻接表的顶点表结点中增加1个出度域来保存各顶点当前的出度。
    • 设置一个栈或队列来暂存所有出度为零的顶点。
    • 除了增加一个栈或向量T来保存输出的顶点序列外，该算法完全类似于NonPreFirstTopSort。
      
• 利用深度优先遍历对DAG拓扑排序
  • 思想方法：
    • 当从某顶点v出发的DFS搜索完成时，v的所有后继必定均已被访问过(想像它们均已被删除)。
    • 此时的v相当于是无后继的顶点，因此在DFS算法返回之前输出顶点v即可得到 DAG的逆拓扑序列。
    • 其中第一个输出的顶点必是无后继(出度为0)的顶点，它应是拓扑序列的最后一个顶点。
    • 若希望得到的不是逆拓扑序列，同样可增加T来保存输出的顶点。
    • 若假设T是栈，并在DFSTraverse算法的开始处将T初始化
      
  • 抽象代码描述：

    • void DFSTopSort(G，i，T)
      {
          //在DisTraverse中调用此算法，i是搜索的出发点，T是栈
          int j；
          visited[i]=TRUE； //访问i
          for(所有i的邻接点j)//即∈E(G)
              if(!visited[j])
                  DFSTopSort(G，j，T)；//以上语句完全类似于DFS算法
          Push(&T，i)； //从i出发的搜索已完成，输出i
      }

  • 备注：
    • 只要将深度优先遍历算法DFSTraverse中对DFS的调用改为对DFSTopSort的调用，即可求得拓扑序列T。其具体算法不难从上述抽象算法求精后得到。
    • 若G是一个DAG，则用DFS遍历实现的拓扑排序与NonSuccFirstTopSort算法完全类似；但若C中存在有向环，则前者不能正常工作。
      

作业练习：