质点振动学-学习记录1
文章目录
- 1.质点振动系统的概念
- 2.质点的自由振动
- 2.1自由振动方程
- 2.2自由振动的一般规律
- 2.3自由振动的能量
- 2.4双弹簧串接和并接系统的振动
- 1.双弹簧串接
- 2.双弹簧并接
1.质点振动系统的概念
质点振动系统,就是假设构成振动系统的物体如质量块,弹簧等,不论其几何大小如何,都可以看成是一个物理性质集中的系统,对于这种系统,质量块的质量认为是集中在一点的,这就是说,构成整个振动系统的质量块与弹簧,他们的运动状态都是均匀的,这种振动系统也称之为集中参数系统.
2.质点的自由振动
设有一可作为质点,其质量为 M m M_m Mm的坚硬物体系于弹性系数或劲度系数为 K m K_m Km的弹簧上,构成一简单的振动系统,简称单振子.系统初始时处于静止状态,假定突然有一外力作用在物体上,并且仅在初始时刻起作用,这种情况下质点所做的振动称为自由振动.
2.1自由振动方程
设物体被拉离平衡位置的位移为 ξ \xi ξ,则根据虎克定律弹簧的弹力 F k = − K m ξ F_k=-K_m\xi Fk=−Kmξ, K m K_m Km即上述的弹性系数,有时用其倒数 C m C_m Cm表示, C m = 1 K m C_m=\frac{1}{K_m} Cm=Km1称为顺性系数,或称力顺.设位移 ξ \xi ξ的正方向向上,则根据牛顿第二定律有 M m d 2 ξ d t 2 = − K m ξ (1) M_m\frac{d^2\xi}{dt^2}=-K_m\xi\tag{1} Mmdt2d2ξ=−Kmξ(1)或写成 M m d 2 ξ d t 2 + K m ξ = 0 (2) M_m\frac{d^2\xi}{dt^2}+K_m\xi=0\tag{2} Mmdt2d2ξ+Kmξ=0(2)或写成 d 2 ξ d t 2 + w 0 2 ξ = 0 (3) \frac{d^2\xi}{dt^2}+w_0^2\xi=0\tag{3} dt2d2ξ+w02ξ=0(3)其中 w 0 2 = K m M m w_0^2=\frac{K_m}{M_m} w02=MmKm, w 0 w_0 w0称为振动圆频率,也称角频率,式(3)就是质点的自由振动方程.
2.2自由振动的一般规律
式(3)的解 ξ = A c o s w 0 t + B s i n w 0 t (4) \xi=Acosw_0t+Bsinw_0t\tag{4} ξ=Acosw0t+Bsinw0t(4)其中A,B是由运动的初始条件确定的常数.
也可以化成 ξ = ξ a c o s ( w 0 t − φ 0 ) (5) \xi=\xi_acos(w_0t-\varphi_0)\tag{5} ξ=ξacos(w0t−φ0)(5)位移对时间t求导得速度 v = d ξ d t = v a s i n ( w 0 t − φ 0 + π ) (6) v=\frac{d\xi}{dt}=v_asin(w_0t-\varphi_0+\pi)\tag6 v=dtdξ=vasin(w0t−φ0+π)(6)(5)(6)两式中 v a = w 0 ξ a v_a=w_0\xi_a va=w0ξa, ξ a = A 2 + B 2 , φ 0 = a r c t a n B A \xi_a=\sqrt{A^2+B^2},\varphi_0=arctan\frac{B}{A} ξa=A2+B2,φ0=arctanAB
从(5)式看出位移 ξ \xi ξ随时间 t t t的变化规律呈余弦形式.
随t作正弦或余弦规律的运动,一般称为简谐运动, ξ a \xi_a ξa为位移的最大值,称为位移振幅. φ 0 \varphi_0 φ0为振动的初相位.T为运动的周期, T = 2 π w 0 T=\frac{2\pi}{w_0} T=w02π振动频率 f = 1 T f=\frac{1}{T} f=T1.
由 w 0 2 = K m M m w_0^2=\frac{K_m}{M_m} w02=MmKm,所以自由振动的频率公式为 f 0 = 1 2 π K m M m (7) f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_m}{M_m}}\tag7 f0=2π1MmKm(7)或用力顺表示 f 0 = 1 2 π 1 M m C m (8) f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{M_mC_m}}\tag8 f0=2π1MmCm1(8)式(8)说明只要系统的固有质量 M m M_m Mm和弹性系数 K m K_m Km一定,其振动的频率也就决定了,而同系统是以多大的初始位移或者多大的初始速度开始运动没有关系,因而这一振动频率称为系统的固有频率.
质量 M m M_m Mm越大或者弹性系数 K m K_m Km越小,固有频率越低,反之越高.
2.3自由振动的能量
质点在振动时任一时刻系统的总振动能等于势能和动能的和.
贮存在弹簧中的势能等于 E p = ∫ 0 t K m ξ d ξ = 0.5 K m ξ 2 (9) E_p=\int_0^tK_m\xi d\xi=0.5K_m\xi^2\tag{9} Ep=∫0tKmξdξ=0.5Kmξ2(9)系统具有的动能可表示为 E k = 1 2 M m v 2 (10) E_k=\frac{1}{2}M_mv^2\tag{10} Ek=21Mmv2(10)
系统的总振动能为 E = E p + E k = 1 2 K m ξ 2 + 1 2 M m v 2 (11) E=E_p+E_k=\frac{1}{2}K_m\xi^2+\frac{1}{2}M_mv^2\tag{11} E=Ep+Ek=21Kmξ2+21Mmv2(11)
将(5)和(6)代入得 E = 1 2 K m ξ a 2 c o s ( w 0 t − φ 0 ) + 1 2 M m w 0 2 ξ a 2 s i n 2 ( w 0 t − φ 0 ) = 1 2 K m ξ a 2 = 1 2 M m v a 2 (12) E=\frac{1}{2} K_m\xi_a^2cos(w_0t-\varphi_0)+\frac{1}{2} M_mw_0^2\xi_a^2sin^2(w_0t-\varphi_0)=\frac{1}{2}K_m\xi_a^2=\frac{1}{2}M_mv_a^2\tag{12} E=21Kmξa2cos(w0t−φ0)+21Mmw02ξa2sin2(w0t−φ0)=21Kmξa2=21Mmva2(12)
2.4双弹簧串接和并接系统的振动
1.双弹簧串接
设两根弹簧的弹性系数 K 1 m K_{1m} K1m与 K 2 m K_{2m} K2m,在质量 M m M_m Mm的重力作用下,产生的静位移分别为 ξ 1 s t \xi_{1st} ξ1st和 ξ 2 s t \xi_{2st} ξ2st,于是 每一弹簧的所产生的弹力分别为 − K 1 m ξ 1 s t -K_{1m}\xi_{1st} −K1mξ1st与 − K 2 m ξ 2 s t -K_{2m}\xi_{2st} −K2mξ2st,因为两根弹簧是串联的,每一根弹簧都受到质量 M m M_m Mm的拉力都相同,等于 M m g M_mg Mmg,因此根据静力学平衡条件 M m g = K 1 m ξ 1 s t = K 2 m ξ 2 s t (13) M_mg=K_{1m}\xi_{1st}=K_{2m}\xi_{2st}\tag{13} Mmg=K1mξ1st=K2mξ2st(13)
而两根弹簧的总静位移等于各个弹簧静位移的总和,即 ξ s t = ξ 1 s t + ξ 2 s t (14) \xi_{st}= \xi_{1st}+\xi_{2st}\tag{14} ξst=ξ1st+ξ2st(14)(13)代入(14)得 ξ s t = M m g K 1 m + K 2 m K 1 m K 2 m (15) \xi_{st}=M_mg\frac{K_{1m}+K_{2m}}{K_{1m}K_{2m}}\tag{15} ξst=MmgK1mK2mK1m+K2m(15)系统的固有频率等于 f 0 = 1 2 π g ξ s t = 1 2 π K m ′ M m (16) f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\xi{st}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K'_m}{M_m}}\tag{16} f0=2π1ξstg=2π1MmKm′(16)其中 K m ′ = K 1 m + K 2 m K 1 m K 2 m K'_m=\frac{K_{1m}+K_{2m}}{K_{1m}K_{2m}} Km′=K1mK2mK1m+K2m为弹簧串接时的等效弹性系数.
两个弹簧串接使系统的弹性减小,固有频率降低.
2.双弹簧并接
设两根弹簧的弹性系数 K 1 m K_{1m} K1m与 K 2 m K_{2m} K2m,因为并联相接,在质量 M m M_m Mm的重力作用下,两个弹簧的静位移相同,都为 ξ s t \xi_{st} ξst,所以他们产生的弹力分别为 − K 1 m ξ s t -K_{1m}\xi_{st} −K1mξst与 − K 2 m ξ s t -K_{2m}\xi_{st} −K2mξst,根据静力学平衡条件: M m g = K 1 m ξ s t + K 2 m ξ s t (17) M_mg=K_{1m}\xi_{st}+K_{2m}\xi_{st}\tag{17} Mmg=K1mξst+K2mξst(17)于是系统的固有频率为 f 0 = 1 2 π K m ′ ′ M m (16) f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K''_m}{M_m}}\tag{16} f0=2π1MmKm′′(16)其中 K ′ ′ = K 1 m + K 2 m K''=K_{1m}+K_{2m} K′′=K1m+K2m为弹簧并接时的等效弹性系数.两个弹簧的并接时系统的弹性增大,固有频率提高.