【matlab】狼追击兔子问题的建模

实验案例 狼追击兔子的问题

1.1 狼追击兔子问题的建模

1.1.1 问题重述与分析

狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

1.1.2 变量说明

1.1.3 模型假设

1、 狼在追击过程中始终朝向兔子；
2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P（x,y） 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为 。

1.1.4 模型建立

（一）建模准备
以t＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；
则显然有兔子位置的横坐标 。
对狼来说，当x＝100，y＝0，即
在t＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向，
则有

（二）建立模型

3、是否追上的判断

要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。
对（7）式，
当x＝0，如果计算求解得到 ，则视为没有追上；
当x＝0，如果计算求解得到 ，则视为兔子被追上；
1.1.5 模型求解
由微分方程得到其Matlab函数
function yy=odefunlt(x,y) %以狼在追击过程中的横坐标为自变量
yy(1,1)=y(2);
yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);

主程序：

tspan=100:-0.1:0.1; %以狼的x坐标为自变量
y0=[0 0];
%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离
[T,Y] = ode45(‘odefunlt’,tspan,y0);
n=size(Y,1);
disp(‘狼的坐标(x=0.1)’)
disp(Y(n,1)) %通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标

1.1.6 模型结果与分析
运行结果：

狼的坐标(x=0.1)
62.1932

通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。

1.1.7 思考题
通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？

（一）解决思路
可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。
模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：

function sim_langtu
%《狼兔追击问题》
%（离散模拟）
%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度
%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程

Q=[0 0];%兔子坐标
P=[100 0];%狼坐标
PQ=Q-P;%狼兔方向向量  

step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确

count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分

PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量

trackP=P;
trackQ=Q;
for k=1:count;   
   P = P + 2*PQ;%2倍速度
   Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量
   PQ = Q - P;
   trackP(1+k,:)=P;
   trackQ(1+k,:)=Q;
   PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量   
   dis=  sqrt(sum((P-Q).^2));
   plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+');
   pause(0.5)
end%for
dis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离
P  %兔子到达窝边时，狼的坐标
Q  %兔子到达窝边时，兔子的坐标

（二）模拟程序运行结果

dis =
7.0619

P =
1.6805   53.1410

Q =
     0    60

注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。
程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。