数据结构：图（三） 图的应用
这篇文章讲一下图的一些应用。
一、最小连通代价问题
二、最短路径问题
三、有向图在工程中的应用（AOV网络、AOE网络）
一、最小连通代价问题
无向连通图的生成树有很多，如果图的边具有权值，那么各个生成树的边的权值之和大小就不同。在所有生成树中，权值之和最小的一棵成为最小生成树。
1.最小生成树：假设图是一个加权连通图，具有最小权值之和的生成树称为最小代价生成树。Minimum Cost Spanning Tree (MST)
举一个例子：假设有一个网络，用以表示n个城市之间假设通信线路，边上的权值代表架设通信线路的成本。如何架设才能使线路架设成本达到最小？
这个问题的答案：
2.MST性质：假设 G=(V,E) 是加权连通图，Ｕ是Ｖ的非空子集， 若(u0, v0)是一条最小权值的边，其中u0∈U，v0∈V-U；则： (u0, v0)必在最小生成树上。 （这里给大家说一下，所谓最小权值的边，我认为是与u0相连的所有带权值边中权值最小的边，而不是所有带权值边中权值最小的边（也可能理解的不对，有不对的地方还请大家批评指正））
3.最小生成树的构造方法
有多种算法，最常用的是以下两种：Kruskal（克鲁斯卡尔）算法——边归并 、Prim（普里姆）算法 ——顶点归并。
这两种方法都是采用的贪心策略，都是基于MST性质的。
贪心准则：选两个顶点不在同一连通分量上的边中权值最小的。
（1）克鲁斯卡尔（Kruskal）方法：
设 N= { V , E}是有n 个顶点的连通网，
步骤：
①首先构造一个只有n个顶点但没有边的非连通图T={V,∅},图中每个顶点自成一个连通分量；
②在边集E中选择具有最小权值的边，若该边的两个顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到生成树的边集合T 中；否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边；
③如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。 此时的T即为所求（最小生成树）。
举例：
右图中边的权值由小到大代表该边被选择的顺序（如权值为2的边，代表该边是第二个被选择的边）。
（2）普利姆（Prim）方法：
设：N =（V , E）是个连通网， 另设U为最小生成树的顶点集，TE为最小生成树的边集。
步骤：
①初始状态：令U={u0}，u0∈V，TE={}，T={V,TE}；
②在所有u∈U，v∈V-U的边（u，v）中找一条权值最小的(u',v')，(u',v')并入TE，即TE=TE∪｛(u′,v′)｝，v′并入Ｕ，即Ｕ＝Ｕ∪｛v′｝；
③ 重复第二步，直到Ｕ＝Ｖ为止。此时TE中必有n-1条边， T＝（U，TE）就是最小生成树。
举例：
二、最短路径问题
在现实中，有时要从甲地到乙地，有两种型录的方案：
其一：为了减少麻烦，选择中转次数最少的路线；
其二：为了节省时间，选择距离最短的路线；
第一种方法，可以利用图的广度优先遍历方法，将从甲地到乙地的所有路线找出来，然后找一条中转次数最少的路线；第二种方法，就是这篇文章要讨论的最短路径问题，根据图中各边的权值选择路径。
给定一个带权重的图G=(V,E)，边的权重函数为w:E->R，则一条路径p=v1 →v2 →… →vk的权重为该路径上每条边的权重之和：
1.最短路径：无论是有向图还是无向图，从任意定点u到v的最短路径是从所有u到v的路径中权重最小的路径。最短路径权重定 义为：
2.最短路径问题：
（1）单源单点最短路径问题：人们最容易想到也是现实生活中最常见的问题
直观感觉上，寻找单源单点最短路径的时间复杂性将大大超过边的数目。时间复杂性与一对顶点之间的路径的条数成正比，那么一对顶点之间，最坏情况下至少是(n-2)！，至多是(n-1)！，n=|V|，即O(n!)。因此，最坏时间复杂性是巨大的。
对于一般性的一对顶点(单源单点)之间的最短路径问题，目前还没有找到更好的办法。
（2）单源多点最短路径问题：Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
尽管比较糟糕，但是人们发现，在找一对顶点之间的最短路径时，已经考察了源点到任意顶点的所有路径，因此，可以一次性地找出源点到所有顶点的最短路径，这样平摊下，花费在一对顶点之间的最短路径上的成本会大大降低。求一个顶点到其他所有顶点的最短路径问题可以使用贪心策略，贪心+摊销，从而使得最短路径的搜索成本大大下降。
Dijkstra算法：
1）问题描述：设一有向图G=（V, E），已知各边的权值，以某指定点v0为源点，求从v0到图的其余各点的最短路径。限定各边上的权值大于或等于0。
2） Dijkstra 算法的基本思想
贪心策略：从源点向外延伸，越短的路径（终点）越早被求出。（大家可以将其想象成洪水泛滥，从一个村庄淹没到另一个村庄，洪水当然会“走”距离最短的路径）
即：找出目前离源点最近的顶点（它和源点构成了一条新 的最短路径，这条路径应该在未求出的路径中最短。)
于是，第一条最短路径是，从源点出发，不经过任何顶点可达的所有路径中最短的那条。
按照Dijkstra的思想，第二条肯定比第一条要长，但应该是 从源点可达的路径中最短的那条。有两种可能：
①从源点直达
②经过其他顶点，此时要经过只能经过第一条（的顶点）
3）Dijkstra 算法 ：设v0是源点，S={v1,…,vk}是已经求得最短路径的顶点集合， V-S就是还未求出最短路径的顶点集合。一个顶点vi属于 S当且 仅当从源点v0到vi的最短路径已经求出。
引入一个辅助数组dist。它的每一个分量dist[i]记录着源点v0 到vi的当前最短路径长度。
①初始化：
dist的初始状态：对每个顶点有：
·若从v0到顶点vi有边, 则dist[i]为该边的权值；
·若从v0到顶点vi无边, 则dist[i]为无穷。
②求一条最短路径：
（应用贪心准则选择求出每一条最短路径）
即在未求出最短路径的顶点中选取离源点距离最近的顶点。在V-S中，选取具有最短当前路径的顶点vk，满足：dist[k]=min{ dist[i] | vi ∈V-S } ，S<-S∪{vk}；
③修正：对所有未求出最短路径且又与vk邻接的顶点vj ∈V-S 按下式修正（新最短路径的出现是否使各个顶点的当前路径变 短），即：
dist[j]=min{ dist[j],dist[k]+w(k,j) }
④重复②③，直到S=V。到这里，所有顶点的最短路径都已经求出。
注意：在记录路径长度的同时， 还应该记录路径轨迹，即哪条 路径最短。
（上面这些对于迪杰特斯拉算法的描述，有些地方我自己都读不明白，大家粗略的看一下即可，主要看一下我下面展示的这个例子）
4）举例：
求v0到其余各顶点的最短路径。
①存储结构：加权邻接矩阵
②初始化：
（上面那个红框应该是框错了）
path[3]=[v0,v2,v3]
迪杰特斯拉算法，按照我的理解，其实就一句话，路径经过的所有顶点向其他未被包括的所有顶点“发出连接请求”，从中选一个权值增加最小的，加入当前最短路径顶点集合中。
（3）多源多点最短路径问题：Floyd（弗洛伊德）算法
1）问题：对于有向加权图G，求每一对顶点之间的最短路径。
2）方法：
①方法1：调用上面的迪杰特斯拉算法，以每个顶点作为一次源点。
②方法2：Floyd算法（这个算法我们不考，老师也没讲，这里我就不说了，有兴趣的童鞋可以问一下度娘）
三、有向图在工程中的应用
1.先说两个概念。
工程（project）：有时又称为系统，一般指一项大的或复杂的任务。
活动（activity）：复杂工程一般要分解为许多子工程，每个子工程称为活动。
2.工程：
（1）AOV网络：各个子工程（活动）如何施工，以保证工程能够完成。（哪个活动先开始，那个活动后开始，因为某些活动可能以其他活动的完成为前提，这是调度问题）
（2）AOE网络：工程何时能完工，各个活动的完成时间决定工程完成的总时间。（如何估算工程的工期，使工期最短，这是进度、工期问题）
3.AOV网络
（1）AOV网络：用顶点表示工程的活动，有向边表示活动之间 的优先关系( Activity On Vertex )的有向图。
（2）前驱、后继：在AOV网络中，若从顶点Vi到Vj有一条有向路 径，则称Vi是Vj的前驱，Vj是Vi的后继；若
前驱后继关系表示一个活动是另一个活动的先决条件，即前驱活动完成，后继活动才可以开始。
（3）举一个例子：
计算机专业学生必须完成一系列规定的基础课和专业课 才能毕业，这就是一个工程。学习一门课程就是一个活动。先 学哪些课，后学哪些课是有要求的，即活动之间有优先关系。
（4）拓扑序列：对于有向图，其顶点V1,V2,...Vn的一种排列，如果 满足：Vi到Vj有一条有向路径，则Vi排在Vj前面。则称顶点是 拓扑有序的，亦称为顶点的一个拓扑序列。
如果顶点集合（工程的活动）能排为拓扑序列，则说明 工程就得到了一个合理的施工调度方案。
拓扑排序（分类）：得到AOV网络顶点的一个拓扑序列的过程。
总的来说：对于一个工程，进行任务分解，得到各个子工程（活动）， 确定它们之间的优先关系，然后就可以构建出AOV网络。如果 能得到AOV网络的顶点的一个拓扑序列，就得到了工程的一个 活动（施工）调度方案。
（5）要特别注意一点，AOV网络中不能有环，如果有环的话，通俗点讲，会进入一个无穷的循环。
判断AOV有没有环的方法：看能否找到AOV网络顶点的一个拓扑排列（拓扑序）， 若所有顶点能排成一个拓扑序列，则不存在环，否则， 有环。
（6）进行拓扑排序的方法：重复选取入度为0的顶点输出；
假设AOV网络中有n个顶点（活动、子工程），拓扑排序的步骤：
1）在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点（入度为0）, 并输出之; 如果有多个，可以任意选一个；
2）从AOV中删去该顶点及关联的边（即凡是以该顶点为前 提条件的，都没有了，邻接顶点的入度减1） ；
3）重复（1）、（2）步, 直到：
①全部定点均已输出（得到拓扑有序序列）；
②AOV中已没有入度为0的顶点（AOV中剩余的顶点构成 有向环）
4.AOE网络
（1）事件（Event）：一些活动完成后产生的结果或状态。
（2）AOE网络：用顶点表示事件，有向边表示活动，有向边上的 权值表示活动的持续时间，这样的有向图称为AOE网络 ( Activity On Edge ) 。
（3）一些概念：
1）源点：在AOE中，只有一个入度为0的顶点（起始事件）；
2）汇点： 在AOE中，只有一个出度为0的顶点（结束事件）；
3）活动与事件的关系：事件发生后，从此事件出发的活动就 可以开始了；进入（影响）事件的活动都完成该事件就发生；
4）AOE表示的工程：源点（开工）事件发生后，一些活动开始， 一些活动的结束，又导致发生新事件，新事件发生又有活动开 始......，最后，一些活动完成，产生汇点（竣工）事件；
5）工程的工期：源点到汇点所有有向路径中，权值之和最长的路 径的长度。这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)；
6）事件 Vi 的最早发生时间Ve(Vi)=从源点V1到事件Vi的所有有向路径中，权值之和最长的路径的长度；
7）事件 Vi 的最迟发生时间Vl(Vi)=在保证汇点Vn 在Ve[Vn] 时刻完成的前提下，事件Vi的允许的最迟开始时间 =工程的工期-从事件Vi到汇点所有有向路径中权值之和最长的路径的长度；
8）活动的最早开始时间Ae(ek)= 若 ek = < Vi,Vj>，该活动的最早开 始时间为该活动起始事件Vi的最早发生时间 Ve(Vi);
9）活动的最晚开始时间Al(ek)= 若 ek = < Vi,Vj>，该活动的最迟允 许开始时间为该活动的终止事件Vj的最晚发生时间 Vl(Vj)- ek持 续时间;
10）时间余量（松弛时间 slack time）= Al(ek)-Ae(ek)
11）关键活动：时间余量为0，即Ae(ek)=Al(ek)
AOE网络的主要问题，就是求出关键路径。
（4）关键路径求法
1）求出各个事件的最早发生时间 Ve(Vj) ，然后：
2）求出各个事件的最晚发生时间 Vl(Vi) ，汇点（结束事件）的最晚发生时间等于它的最早发生时间 Vl(Vn)=Ve(Vn)，然后：
3）求出各个活动的最早开始时间Ae(ek) ，若 ek = < Vi,Vj>，则Ae(ek)=Ve(Vi);
4）求出各个活动的最晚开始时间Al(ek) ，若 ek = < Vi,Vj>，则Al(ek)=Vl(Vj)-
5）找出关键活动 ；
6）求出关键路径、工期 ；
7）结论（缩短工期的方法） :工程管理策略。
举个例子：
总结一下 ：
1.对于一个工程，可以利用ＡＯＶ网络分析工程在分解时是否合理（各个子工程间有否冲突）；得到工程施工的调度顺序。
2.、对于一个工程，在ＡＯＶ的基础上，可以利用ＡＯＥ网 络分析工程的关键子工程（抓主要活动—关键活动），计算 （预测）工程的工期。
3.、在不改变关键路径的前提下，提高关键活动的效率（即缩短关键活动所花费的时间），可以缩短工期。