欧拉定理&费马小定理

若$gcd(a,n)$=1,，则$a^{\phi (n)}=1(modn)$
铺垫:同余类与剩余系
证明:对于$n$的一个简化剩余系{$\overline{a_1},\overline{a_2},......\overline{a_{\phi (n)}}$}，对$\forall a_i,a_j$,若$a\ast a_i\equiv a\ast a_j(modn)$,则$a\ast (a_i-a_j)\equiv 0$，因为$a$与$n$互质，说明$a$不同余$0$,则$a_i-a_j\equiv 0$，即$a_i\equiv a_j.$
既然已经证明了$a\ast a_i$与$a\ast a_j$同余只来自于$a_i$与$a_j$在同一同余类，转化一下,当$a_i$与$a_j$在不同同余类中，$a\ast a_i$与$a\ast a_j$也在不同同余类中。
由于简化剩余系关于模n乘法封闭，故$\overline{a\ast a_1},\overline{a\ast a_2}$也在$n$的简化剩余系，根据数学归纳法可知，{$\overline{a\ast a_1},\overline{a\ast a_2},......\overline{a\ast a_{\phi (n)}}$}都来自于{$\overline{a_1},\overline{a_2},......\overline{a_{\phi (n)}}$}，因为同余类互不同余，所以互不同余的同余类*$a$也是互不同余的,个数也是$\phi (n)$个.
综上所述，
$$a^{\phi (n)}\ast a_1\ast a_2\ast ......\ast a_{\phi (n)}=a\ast a_1\ast a\ast a_2\ast ......a\ast a_{\phi (n)}=a_1\ast a_2\ast ......\ast a_{\phi (n)}(modn)$$
故得$a^{\phi (n)}=1(modn)$
费马小定理:若$p$是质数，则对于任意整数$a$，有$a^p=a(modp)$.
证明:
由欧拉定理得:$a^{\phi (p)}=1(modp)$；当$p$为质数时，$\phi (p)=p-1$.
则$a^{p-1}=1(modp),a^p=a(modp)$
证毕。
欧拉定理推论:
若正整数$a,n$互质，则对于任意正整数$b$，都有
$$a^b=a^{bmod\phi (n)}(modn)$$
证明:
$$设b=q\ast \phi (n)+r,其中0\le r<\phi (n),即r=bmod\phi (n).于是$$
$$a^b=a^{q\ast \phi (n)+r}=(a^{\phi (n)}{)}^q\ast a^r=1^q\ast a^r=a^r=a^{bmod\phi (n)}(modn)$$
得证。