模拟退火

模拟退火是用来解决上述问题的一种概率搜索算法，如果我们只是用普通的二分的话，那么可能遇到陷入A这个局部极大值的解，而无法找到B这个全局最大值。

而模拟退火的精髓就在于有一定的概率在A这个位置的时候接受D这个位置的解，从而越过了这个局部极大值。

算法模型:

应用到ACM的时候一般都是解决最优解问题，但是这个是有概率性的，可能AC也可能WA。但是只有退火设置的较好，正确性是特别高的。

$E(x_{new})$为新解的贡献,$E(x_{old})$为旧解的贡献，他们之差是负的时候，说明新解较差，以一定的概率接受新解。

Metropolis准则表明，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。所以P和T正相关。这条公式就表示：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（因为退火的过程是温度逐渐下降的过程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

对于新点的产生，在温度特别高的时候左右波动的幅度特别大，之后在温度降低时逐渐变小，最后趋于平衡，这便是最优解。
如下图所示

普通的模拟退火不会接受差解，这样就不存在错过最优解。
完全的模拟退火会接受差解，这样可能得不到最优解。

降温一般选取0.97~0.99，越高越好，但是时间也会增大。

2018 ACM-ICPC 南京现场赛：最小球覆盖:

#include
#include
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#include
#include
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int NUM=30;
struct point{
	double x,y,z;
}A[35];
double MAX(double a,double b){
	return a>b?a:b;
}
double MIN(double a,double b){
	return a<b?a:b;
}
double dist(point a,point b){
	return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)+(a.z-b.z)*(a.z-b.z));
}
 
int main()
{
	int n,i,j,k;
	while(scanf("%d",&n),n){
		for(i=0;i<n;++i){
			scanf("%lf%lf%lf",&A[i].x,&A[i].y,&A[i].z);
		}
		point center;int lm=0;
		center.x=center.y=center.z=0;
		double dmax=100,ans=inf;
		while(dmax>eps){
			for(i=0;i<n;++i){
				if(dist(center,A[i])>dist(center,A[lm]))lm=i;
			}
			double d=dist(center,A[lm]);
			ans=MIN(ans,d);
			center.x+=(A[lm].x-center.x)/d*dmax;//逐步向最远点移动，摆动的幅度随着dmax的减小而减小
			center.y+=(A[lm].y-center.y)/d*dmax;
			center.z+=(A[lm].z-center.z)/d*dmax;
			dmax*=0.98;//0.97都不行至少0.98 , 降温
		}
		printf("%.5lf\n",ans);
	}
	return 0;
}

2019WHU网络赛:https://blog.csdn.net/Link_Ray/article/details/89173222