codevs3969[Mz]平方和 矩阵快速幂以及斐波那契数列性质的应用

题目链接:戳我~

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题目描述 Description

斐波那契数列：f[0]=0,f[1]=1,f[i]=f[i-1]+f[i-2]
求f[1]*f[1]+f[2]*f[2]+…+f[n]*f[n]的值

输入描述 Input Description

仅一行，一个正整数n

输出描述 Output Description

仅一行一个数，即所求的值，由于结果可能很大，需对1,000,000,007取模

样例输入 Sample Input

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于100‰的数据，n<=1,000,000=10^6

然而：
对于200‰的数据，n<=9,000,000,000,000,000,000=9*10^18
对于500‰的数据，n<=10^500
对于1000‰的数据，n<=10^50000

做此题一定要注意，那是千分号！！！，不是百分号！！！

当时看10W递推吧=-= 结果10分……

这个题目用到斐波那契数列的一个性质：前n项fibonacci的平方和 等于 第fib[n]*fib[n+1]。
这个性质你要是说不懂那自然是正常的，你要是不懂还不打表找规律那就不正常了……
知道了这个性质之后我们就可以快速求前n项fib的平方和了，这时候看100的数据范围给定n <= 10^50000，一看就知道取膜乱搞，利用手动读入的优势边读边取膜就可以啦~（开始我居然想只读后10位……）
但是就算是10亿以内递推也不行，用矩阵乘法和快速幂优化一下就可以啦~
这里还推荐大家多去矩阵67的博客看看，特别棒~戳

代码实现：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007ll;
struct juzhen{
    int n,m;
    int num[3][3];
    juzhen(){memset(num,0,sizeof(num)); n = 0,m = 0;};
};

juzhen operator * (juzhen a,juzhen b)
{
    juzhen ans;
    ans.n = a.n,ans.m = b.m;
    for(int i = 1;i <= a.n;i ++)
    {
        for(int j = 1;j <= b.m;j ++)
        {
            for(int k = 1;k <= a.m;k ++)
            {
                ans.num[i][j] = (ans.num[i][j]%mod + (a.num[i][k]%mod)*(b.num[k][j]%mod)%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return ans;
}

juzhen fib,tmp;

void ksm(ll b)
{
    while(b)
    {
        if(b & 1)   fib = fib * tmp;
        tmp = tmp * tmp;
        b >>= 1;
    }
}

void RD(ll &x)
{
    x = 0;
    char c;
    c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')   c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = ((x << 1) + (x << 3) + c - '0')%(mod+1),c = getchar();
}
ll n,ou;
int main()
{
/*  int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {*/
    fib.num[1][1] = 1;  fib.num[1][2] = 0;
    fib.n = 1,fib.m = 2;
    tmp.num[1][1] = tmp.num[1][2] = tmp.num[2][1] = 1;
    tmp.n = tmp.m = 2;
    RD(n);
    ksm(n);
//      cout<
    ou = (fib.num[1][1]%mod*fib.num[1][2]%mod)%mod;
    cout<//  }
    return 0;
}