#bzoj3187#区间修改的RMQ问题(zkw线段树版)

区间修改的RMQ问题

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题目描述

给出N(1 ≤ N ≤ 50,000)个数的序列A，下标从1到N，每个元素值均不超过1000。有两种操作：

(1)  Q i j：询问区间[i, j]之间的最大值与最小值的差值

(2) C i j k：将区间[i, j]中的每一个元素增加k，k是一个整数，k的绝对值不超过1000。

一共有M (1 ≤ M ≤ 200,000) 次操作，对每个Q操作，输出一行，回答提问。

输入

第1行：2个整数N, M

第2行：N个元素

接下来M行，每行一个操作

输出

对每个Q操作，在一行上输出答案

样例输入

5 4
1 2 3 4 5
Q 2 4
C 1 1 1
C 1 3 2
Q 1 5

样例输出

2
1

才略懂了一点zkw线段树，本来觉得自己并没有灵活掌握全部，但是理解是靠熟练一点点堆起来的，

所以才慢慢写一篇题解，想看看自己是不是真的懂了一点点，

以下全部都是我自己对于zkw线段树的理解，仅作参考，如果有问题，还望指教。

使用差分思想，令Tr[i]中维护它与其父亲节点的差值（待会儿会写另一篇来详细介绍我对其的理解）

为什么是差值呢？

因为这样能够方便修改，当一个节点的整个子树都被包含在内的时候，只需要修改此节点及以上，就可以达到修改整个子树的目的，以节约时间。

即维持下方节点差值不变，将上方差值增大，这样可以保证结果不变。

因为，对于每个子节点的真实值，都需要从子节点一路累加到根节点。

写在前面：

我的zkw树下标和网上的不太一样，我并没有用开区间，全部代码都为闭区间。

以下代码仅以求最小值为例。

请仔细阅读build()：

void build(){
	for(X=1; X<=N; X<<=1);
	--X;
	for(int i=X+1; i<=X+N; ++i)scanf("%d",&Tr[i]);
	for(int i=X; i>=1; --i)
		Tr[i]=min(Tr[i<<1],Tr[i<<1|1]),Tr[i<<1]-=Tr[i],Tr[i<<1|1]-=Tr[i];
}

单个子节点求真实值代码如下：

int get_value(int pos){
	int val=0;
	for(pos+=X; pos; pos>>=1)
		val+=Tr[pos];
	return val;
}

对于单个子节点的修改如下：

void add(int pos,int val){
	int A;
	Tr[pos]+=val;
	for(; pos>1; pos>>=1)
		A=min(Tr[pos],Tr[pos^1]),Tr[pos]-=A,Tr[pos^1]-=A,Tr[pos>>1]+=A;
}

对于区间的修改如下：

void add(int s,int t,int val){
	s+=X,t+=X;
	int A;
	if(s==t){//注意单点是需要特判的，不然会死循环
		Tr[s]+=val;
		for(; s>1; s>>=1)
			A=min(Tr[s],Tr[s^1]),Tr[s]-=A,Tr[s^1]-=A,Tr[s>>1]+=A;
		return ;
	}
	Tr[s]+=val;Tr[t]+=val;
	for(; s^t^1; s>>=1,t>>=1){
		if(~s&1)Tr[s^1]+=val;//判断是不是左子，若是就将右子纳入比较
		if(t&1)Tr[t^1]+=val;//判断是不是右子，若是就将左子纳入比较
		A=min(Tr[s],Tr[s^1]),Tr[s]-=A,Tr[s^1]-=A,Tr[s>>1]+=A;//修改该点与其父亲节点的关系，稍后会在另一篇文章中详细讲述解释（是我自己的理解，仅做参考）
		A=min(Tr[t],Tr[t^1]),Tr[t]-=A,Tr[t^1]-=A,Tr[t>>1]+=A;
	}
	while(s!=1){//因为是把s为子节点去更新s>>1，所以s只能到2就停下，此时(s>>1)=1
		A=min(Tr[s],Tr[s^1]),Tr[s]-=A,Tr[s^1]-=A,Tr[s>>1]+=A;
		s>>=1;
	}
}

本题开两个数组，一个维护最小值，一个维护最大值。

完整代码如下：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int Max=50000;
int N,M,X;
int Trx[Max*4+5],Trn[Max*4+5];
void build(){
	for(X=1; X<=N; X<<=1);
	for(int i=1; i<=(X<<1); ++i)Trn[i]=0x3f3f3f,Trx[i]=-0x3f3f3f;
	--X;
	for(int i=X+1; i<=X+N; ++i)scanf("%d",&Trx[i]),Trn[i]=Trx[i];
	for(int i=X; i>=1; --i){
		Trx[i]=max(Trx[i<<1],Trx[i<<1|1]),Trx[i<<1]-=Trx[i],Trx[i<<1|1]-=Trx[i];
		Trn[i]=min(Trn[i<<1],Trn[i<<1|1]),Trn[i<<1]-=Trn[i],Trn[i<<1|1]-=Trn[i];
	}
}
void add(int s,int t,int val){
	s+=X,t+=X;
	int A;
	if(s==t){
		Trx[s]+=val,Trn[s]+=val;
		for(; s>1; s>>=1){
			A=min(Trn[s],Trn[s^1]),Trn[s]-=A,Trn[s^1]-=A,Trn[s>>1]+=A;
			A=max(Trx[s],Trx[s^1]),Trx[s]-=A,Trx[s^1]-=A,Trx[s>>1]+=A;
		}
		return ;
	}
	Trx[s]+=val,Trn[s]+=val,Trx[t]+=val,Trn[t]+=val;
	for(; s^t^1; s>>=1,t>>=1){
		if(~s&1)Trx[s^1]+=val,Trn[s^1]+=val;
		if(t&1)Trx[t^1]+=val,Trn[t^1]+=val;
		A=min(Trn[s],Trn[s^1]),Trn[s]-=A,Trn[s^1]-=A,Trn[s>>1]+=A;
		A=min(Trn[t],Trn[t^1]),Trn[t]-=A,Trn[t^1]-=A,Trn[t>>1]+=A;
		A=max(Trx[s],Trx[s^1]),Trx[s]-=A,Trx[s^1]-=A,Trx[s>>1]+=A;
		A=max(Trx[t],Trx[t^1]),Trx[t]-=A,Trx[t^1]-=A,Trx[t>>1]+=A;
	}
	while(s!=1){
		A=min(Trn[s],Trn[s^1]),Trn[s]-=A,Trn[s^1]-=A,Trn[s>>1]+=A;
		A=max(Trx[s],Trx[s^1]),Trx[s]-=A,Trx[s^1]-=A,Trx[s>>1]+=A;
		s>>=1;
	}
}
int Query(int s,int t){
	s+=X,t+=X;
	if(s==t){
		int ansx=Trx[s],ansn=Trn[s];
		while(s){
			s>>=1;
			ansx+=Trx[s],ansn+=Trn[s];
		}
		return ansx-ansn;
	}
	int ansxl,ansxr,ansnl,ansnr;
	ansxl=ansxr=ansnl=ansnr=0;
	for(; s^t^1; s>>=1,t>>=1){
		ansxl+=Trx[s],ansxr+=Trx[t];
		ansnl+=Trn[s],ansnr+=Trn[t];
		if(~s&1){
			ansnl=min(ansnl,Trn[s^1]);
			ansxl=max(ansxl,Trx[s^1]);
		}
		if(t&1){
			ansnr=min(ansnr,Trn[t^1]);
			ansxr=max(ansxr,Trx[t^1]);
		}
	}
	ansxl+=Trx[s],ansxr+=Trx[t],ansnl+=Trn[s],ansnr+=Trn[t];
	int ansx=max(ansxl,ansxr),ansn=min(ansnl,ansnr);
	while(s){
		s>>=1;
		ansx+=Trx[s],ansn+=Trn[s];
	}
	return ansx-ansn;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&N,&M);
	build();
	char ord[3];
	int l,r,val;
	while(M--){
		scanf("%s%d%d",ord,&l,&r);
		if(ord[0]=='Q')
			printf("%d\n",Query(l,r));
		else {
			scanf("%d",&val);
			add(l,r,val);
		}
	}
	return 0;
}