差分（1）——差分数组

写这个博客主要的原因是解释另一道题运输计划的树上差分，另外也是记录一下，不然每次都以为差分好难，其实是非常容易的。

差分的定义：

我们先看看如下的数列$a$：

1 5 6 7 4 3 2

那么假设我们需要区间修改这个数列多次，但最后只求一个数a[3]。
如果我们每次都改区间的和，那么我们必然会浪费大量时间，如果数据变大就会很慢。
想用前缀和？多次维护，只求一次，这样也没什么用呀！

那么我们只能用差分了！

就比如上面的这串数字，我们用一个数组$cf$存，$cf[i]$代表$a[i]$比$a[i-1]$位的数大$cf[i]$（如果$a[i]<a[i-1]$，$cf[i]$将会是负数），即两数之差。那么很明显，初始的$cf[i]$只要在读入时将$a[i]-a[i-1]$存入即可。（$cf[1]$就是$a[1]$，因为$a[1]-a[0]（a[0]=0）=a[1]$）

如何求a[i]?

求$a[i]$只要求出$cf[1]+cf[2]+cf[3]+...+cf[i]$就可以了。

如何修改区间?

那如果我要把$x...y$这个区间加$z$怎么办？我们只要在$cf[x]$处$+z$（代表$a[x]...a[n]$都+1），再在$cf[y+1]$处-1（代表$a[y+1]...a[n]$都$-z$）。

这样就做到$a[x]...a[y]+z$了：

欢迎看到下一期差分（1）——差分数组（待更）。