组合数学-卡特兰数的应用

1.定义这样的递推：H[n]=(4n-2)/(n+1)*H[n-1]，则形成的H数列叫做卡特兰数。卡特兰数有很多种递推方式，因为不同的问题从不同的角度出发产生递推结果可能是殊途同归。下面再给出一种十分常用的卡特兰数的递推：H[n]=H[0]*H[n-1]+H[1]*H[n-2]...H[n-1]*H[0].

1.卡特兰数是组合数学上的一个十分重要的数列，有十分明显的几何意义。他的引出是从一个几何问题上。考虑这样一个问题：对于一个n边形，连接其中的三个点构成一个三角形，计算这样的三角形到底有多少种形态？我们其实可以写出这个数列的前几项C[3]=1，C[4]=2,C[5]=2...

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。这样就可以推导出卡特兰数最原始的意义，逐渐的，这个意义被用到了很多很多问题，人们将这些问题抽象以后发现都是卡特兰数的模型。下面给出卡特兰数的几种应用的场景。

矩阵连乘：矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

出栈种类：一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列（H(n)）

 买票找零：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少种方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)(H[n])

二叉搜索树的生成问题：n个节点可以形成H[n]个二叉搜索树

括号匹配问题：n对括号有多少种匹配的问题（H[n]）

走方格的问题：在一个n*n的方格中，从左下角不穿过对角线走到右上角的方案数：2*H[n],注意这里为什么是2倍，因为如果单单的从一个角度上考虑，我们只是从上三角走，是H[n],如果是下三角也是H[n],所以就是2*H[n].

其实卡特兰数的应用还有很多，但是要明白他的原理，这样对于一些变形的问题利用这个思想也是很快的可以推导出来。由于卡特拉书一般都是很大的数据，所以经常使用JAVA实现，下面给出java实现卡特兰数的打表，这个HDU上的一个裸题：

package BigIn;
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Big
{
	static BigInteger[]tem=new BigInteger[105];
	public static void main(String[]args)
	{
		/*H[n]=(4*n-2)/n+1*H[n-1]*/
		BigInteger a=new BigInteger("4");
		BigInteger b=new BigInteger("2");
		BigInteger c=new BigInteger("1");
		tem[0]=new BigInteger("1");
		tem[1]=new BigInteger("1");
		for(int i=2;i<=104;i++)
		{
   			/*String str=String.valueOf(i);
			BigInteger p=new BigInteger(str);
			tem[i]=tem[i-1].multiply(a.multiply(p).subtract(b)).divide(p.add(c));
   			*/
			/*根据公式:H[n]=H[0]*H[n-1]....H[n-1]*H[0]*/
			tem[i]=new BigInteger("0");
			for(int j=0;j