最短路问题 Floyd算法与Dijkstra算法(leetcode 743)

Floyd算法：

算法原理：

 

最短路的实际应用：

题目描述：

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

输入：

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
当输入为两个0时，输入结束。

输出：

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间。

样例输入：

2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0

样例输出：

3
2

我们首先分析时间复杂度。Floyd算法是一个三重循环，N为节点的个数。所以时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2).题中节点个数为100.时间复杂度在可以接收的范围内。

但是若节点格式若是大于200，则很有可能会因为效率问题而超时。

#include 
#include 
using namespace std;
int ans[101][101];

int main()
{
    int n,m,a,b,c;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        if(n==0&&m==0) break;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                ans[i][j]=-1;
            }
            ans[i][i]=0;
        }
        while(m--)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            ans[a][b]=ans[b][a]=c;
        }
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                for(int j=1;j<=n;j++)
                {
                    if(ans[i][k]==-1||ans[k][j]==-1)
                    continue;
                    if(ans[i][j]==-1||ans[i][k]+ans[k][j]

当Floyd算法完成后，所有节点对之间的最短路都可以求出，所以比较适用于求取多个节点对之间的最短路问题，即全源最短路问题。

Dijkstra算法(贪心)：

 

Dijkstra算法则完全不同，该算法只能求得特定节点到其他所有节点之间的最短路。即单源最短路问题。

单源最短路问题:

给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

Dijkstra算法是一个典型的贪心问题,其基本思想是：设置顶点集合K并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合K当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

贪心算法的条件:

• 贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

• 贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

算法原理：

算法应用：

 

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int Dis[101];
bool mark[101];
struct E
{
    int next;
    int c;
};
vector edge[101];
int main()
{
    int n,m,a,b,c;
    while(cin>>n>>m,n&&m)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            edge[i].clear();
            Dis[i]=-1;
            mark[i]=false;
        }
        while(m--)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            E tmp;
            tmp.next=b;
            tmp.c=c;
            edge[a].push_back(tmp);
            tmp.next=a;
            tmp.c=c;
            edge[b].push_back(tmp);
        }
        Dis[1]=0;
        mark[1]=true;
        int newp=1;
        for(int i=1;iDis[newp]+c)
                    Dis[t]=Dis[newp]+c;
            }
            int min=333333333;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(Dis[i]==-1) continue;
                if(mark[i]==true) continue;
                if(Dis[i]