kruskal算法透彻理解（含并查集及最小生成树的解释）

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克鲁斯卡尔（kruskal）算法通常用于求出一个连通图中的最小生成树，本文会对这种算法以及该算法的基础（最小生成树、并查集）进行详细的介绍。

最小生成树

首先明确一下概念，什么是最小生成树呢？
现在我有一张由n个节点构成的连通图（如下）

可以看到，每个节点都有许多条边与其它节点相连，我们要让这张图变成最小生成树，只需要让每一个节点至少有一条边与其它点相连就可以了，而每个点的边权值是一定的，我们要在保证图的联通的情况下删去一些边，使得留下的边的边权和尽可能小，最后留下的这张图就会是原图的最小生成树（如下图）。

看到了吗？现在的图删去了无用的边，在保证图的每个点直接或间接联通的情况下使得边权和最小，这就是最小生成树。
需要强调的是，最小生成树中的边数等于点数-1。

并查集

那么问题来了，我们怎么判断两个点是否相连呢？
这时候需要用到并查集。

大致思路

初始化每个点，将它们的父亲设为自己，当需要将两个点（或集合）合并时，只需要修改它们的父亲，使得一个点为这个集合中所有点的父亲，如果两个点父亲相同，就说明它们在一个集合中。

举例

举个便于理解的例子，有一群人，他们彼此不一定认识，那他们怎么区分彼此属于哪个团伙呢？A见到B只需要说自己的队长是XXX，B说自己的队长是XXX，如果队长相同，就是一个队的，当两个队需要合并时，选出一个大队长，再让两个队中的所有人认识大队长，这样遇到别人就可以报出大队长的名字，来确定是不是和对方属于一个队，这就是并查集。

kruskal克鲁斯卡尔

现在有了基础知识的积淀，我们来切入正题，kruskal算法又是如何求出一个图的最小生成树的呢？

算法简析

将所有的边按照他们的边权由小到大排序，然后进行一次遍历，枚举每一条边，如果边所连的两个点还没有被联通，就选取这条边来构造最小生成树，如果连通过，就不管了，继续枚举下一条边，直到枚举完成，所有选用的边就构成了最小生成树。

原理

因为边是由小到大进行排序的，所以先考虑的边一定比后考虑的边的边权要小，所以如果两个点有两种方式相连，先枚举到的方式一定比后枚举到的方式要优，所以不需要考虑链接两个点的多种方式中到底哪个是最优解。

图片说明

首先我们假设所有边都不存在，用虚线表示：

然后我们按从小到大的顺序依次枚举每条边是否选取，第一条边两端的点不在一个集合中，所以连起来：

然后依次把边权为3，4，5的4条边都选取（都符合选取条件）

这时候我们来考虑边权为6的这条边，发现它两端的点已经被连在了一起，所以我们不选这条边权为6的边，用蓝色表示不选。

同理，最后一条边也不选取

这样我们就得到了原图的最小生成树。
其实kruskal就是并查集和贪心的结合，仔细看看图的话并不难理解。

伪代码

按边权排序；
for(int i=1;i<=边数;i++)
{
    if(两个点父亲相同) continue;
    else{
    选取的边[++cnt]=这条边;
    使两条边父亲相同;
    }
}

如果还不清楚的话就看代码吧

程序实现

//by floatiy
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,cnt,num,ans,m;//n为点的数量，m是边的总数，num是已经选取了的边数 
int fa[105];//存储每个点的父亲 
struct Edge{
    int w;//边权 
    int to,pre;//边相连的两个点 
};
Edge len[1000];//结构体存储更方便调用 
bool cmp(Edge x,Edge y)//使sort按照边权大小排序 
{
    return x.w < y.w;
}
int find(int x)//并查集 找父亲的函数
//注意这里使用的是递归查找，可以让这个点（A）的父亲也认A的祖先做父亲，使得一次递归经过的所有点的父亲都变成祖先，大大降低了时间复杂度。 
{
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
void build(int x)//选取函数，答案加上边权值，然后两个点相连 
{
    ans+=len[x].w;
    fa[find(len[x].pre)]=find(len[x].to);
    return;
}
int main()
{
    int x,y,we;//两个点和边权 
    cin>>n>>m;//n个点 m个边  
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x>>y>>we;
        len[i].to=x;
        len[i].pre=y;
        len[i].w=we;
    }
    sort(len+1,len+m+1,cmp);//按边权排序 
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;//重点！必须事先把每个点的父亲赋值为它自己，不然默认每个点父亲都是0，会出错。 
    for(int i=1;i<=m;i++)//按边权从小到大枚举 
    {
        if(num==n-1) break;//如果选取的边足够了，就停止循环 
        if(find(len[i].pre)==find(len[i].to)) continue;//如果两个点的父亲相同（已经合并了），就不管它了 
        else{
            build(i);
            num++;//已经选取的边数+1 
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

我们来看一下运行结果（以之前举例子的那张图作为数据）

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知识需要巩固，我推荐几道很适合初学者做的kruskal的裸题：
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