动态规划——数字三角形

问题描述

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3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

• 在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。
• 三角形的行数大于1小于等于100，数字为0-99

解题思路

• 用二维数组存放数字三角形。
• D（r,j）：第r行第j个数字（r,j从1开始算）
• MaxSum(r,j)：从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
• 问题：求MaxSum(1,1)
• 典型的递归问题：D(r,j)出发，下一步只能走D(r+1,j+1)。故对于N行的三角形：

if ( r == N )
	MaxSum(r,j) = D(r,j);
else
	MaxSum(r,j) = Max{ MaxSum(r+1,j), MaxSum(r+1, j+1) } + D(r, j);

整体代码如下：

#include

#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;

int max(int a, int b)
{
	if(a-b >= 0)
		return a;
	else
		return b;
}

int MaxSum(int i, int j)
{
	int x, y;
	if(i == n)
		return D[i][j];
	x = MaxSum(i+1, j);
	y = MaxSum(i+1, j+1);
	return max(x, y) + D[i][j];
}


int main()
{
  int i, j;
  scanf("%d", &n);
  for(i = 1; i <= n; i++)
    for(j = 1; j <= i; j++)
		scanf("%d", &D[i][j]);
  printf("The MaxSum is %d\n", MaxSum(1, 1));
  return 0;
}

• 上述代码采用递归的方法，深度遍历每一条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为$2^n$，对于n = 100行，肯定超时。

改进

• 如果每次算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可以免去重复计算。那么可以用$\mathrm{O}(n^2)$时间完成计算。因为三角形的数字总数时n(n+1)/2
• 改进代码如下：

#include

#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int maxSum[MAX][MAX];
int n;

int max(int a, int b)
{
	if(a-b >= 0)
		return a;
	else
		return b;
}

int MaxSum(int i, int j)
{
	int x, y;
	if(maxSum[i][j] != -1)
		return maxSum[i][j];
	if(i == n)
		maxSum[i][j] = D[i][j];
	x = MaxSum(i+1, j);
	y = MaxSum(i+1, j+1);
	maxSum[i][j] = max(x, y) + D[i][j];
	return maxSum[i][j];
}


int main()
{
  int i, j;
  scanf("%d", &n);
  for(i = 1; i <= n; i++)
    for(j = 1; j <= i; j++)
	{
		scanf("%d", &D[i][j]);
		maxSum[i][j] = -1;
	}
		
  
  printf("The MaxSum is %d\n", MaxSum(1, 1));
  return 0;
}

示意图

空间优化

• 没必要使用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j)，只要从底层一行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可，即只要存储一行的MaxSum值就可以。
• 进一步考虑，连maxSum数组都可以不要，直接用D的第n行替代maxSum即可。
• 节省空间，时间复杂度不变。

改进代码如下：

#include

#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int *maxSum;
int n;

int max(int a, int b)
{
	if(a-b >= 0)
		return a;
	else
		return b;
}

int main()
{
	int i, j;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++)
		for(j = 1; j <= i; j++)
			scanf("%d", &D[i][j]);
	maxSum = D[n];
	for(i = n-1; i >= 1; i--)
		for(j = 1; j <= i; j++)
				maxSum[j] = max(maxSum[j], maxSum[j+1]) + D[i][j];
  printf("The MaxSum is %d\n", maxSum[1]);
  return 0;
}

注：文中问题及代码参考 MOOC——《程序设计与算法》（北京大学 郭炜）

• 算法系列目录：
  • 一、递归形式的问题
    • 汉诺塔问题（Hanoi)
    • N皇后问题
    • 逆波兰表达式
    • 四则运算表达式求值
    • 爬楼梯
    • 放苹果
    • 算24
  • 二、程序或算法的时间复杂度
  • 三、二分算法
    • 二分查找
    • 二分法求方程的根
    • 寻找指定和的整数对
  • 四、分治算法
    • 归并排序、快速排序
    • 输出前m大的数
    • 求排列的逆序数
    • 求最大子数组
  • 五、动态规划
    • 数字三角形