卡特兰数的实现与应用

 

这是在解决给定节点树，可以构成多少二叉树时遇到的问题，我还真的就都画了出来！！这个问题其实就是卡特兰数的一种应用而已。

  卡特兰数 又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。就是1,1,2,5,14,.......

原理：令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

 

int Catlan(int n)//计算第n位catlan数，(n = 0,1,..)
{
	int num_1 = 2 * n;
	int num_2 = n;

	for (int i = 1; i< n; ++i)
	{
		num_1 = num_1 * (2 * n - i);
		num_2 = num_2 * (n - i);
	}
	int num = num_1 / num_2;//计算C(n,2n)
	int Catlan_num = num / (n + 1);
	
	return Catlan_num;
}

 

应用：

1：括号化

        矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2：出栈次序

        一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

3：凸多边形三角划分

4：给定节点组成二叉搜索树

        给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？

5:n对括号正确匹配数目

        给定n对括号，求括号正确配对的字符串数，例如：

6:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

7:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？