第六章 二叉树的性质

性质一

在二叉树中的第i层上至多有 2(i−1) 个结点。
第一层是根结点，只有一个，所以 2(1−1)=20=1 ，
第二层有两个， 2(2−1)=21=2
…
通过数学归纳法，在二叉树的第i层上至多有 2i−1 个结点。

性质二

深度为k的二叉树至多有 2k−1 个结点，注意是 2k 之后再减一，而不是 2k−1
如果只有一层，则有 21−1=1 个结点，
如果两层，则有 22−1=3 个结点，
如果两层，则有 23−1=7 个结点，
…
因此如果有k层，则总共有 2k−1 个结点。

性质三

对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：终端结点数其实就是叶子结点数，一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或者2的结点数了，假设度为1的结点数为n1，则树T的总结点数n=n0+n1+n2。
再从边来考虑，二叉树的边数为n-1，而总边数同样等于n1+2*n2，因此n-1=n0+n1+n2=n1+2*n2，解得n0=n2+1。

性质四

具有n个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋ （ ⌊x⌋ 表示不大于x的最大整数）。

证明：由满二叉树的定义可知，深度为k的满二叉树的结点数n一定是 2k−1 ，因为这是最多的结点个数，那么对于 n=2k−1 倒推得到满二叉树的度数为 k=log2(n+1) ，比如结点数为15的满二叉树，度为4。

完全二叉树是一棵具有n个结点的二叉树，其叶子结点只会出现在最下面两层。其结点数一定少于等于同样度数的满二叉树结点数 2k−1 ，但一定多于 2k−1−1 。即满足 2k−1−1<n≤2k−1 。由于结点数n是整数， n≤2k−1 意味着 n<2k ， n≥2k−1 ，所以 2k−1≤n<2n ，两边同时取对数，得到 k−1≤log2n<k ，而k作为度数也是整数，因此 k=⌊log2n⌋+1 。

性质五

如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为 ⌊log2n⌋ ）的结点按层序编号（从第一层到第 ⌊log2n⌋ +1层，每层从左到右），对任一结点i（ 1≤i≤n ）有：
1. 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则双亲是结点 ⌊i/2⌋ 。
2. 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子就是结点2i。
3. 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是2i+1。
例：如下图是一个完全二叉树，度为4，总结点数为10

对于第一条是显然的，i=1时就是根结点。i>1时，比如结点7，它的双亲 ⌊7/2⌋ ，结点9，它的双亲就是 ⌊9/2⌋=4 。

第二条，比如结点6，因为2×6=12大于结点总数10，所以结点6无左孩子，它是叶子结点。而结点5，因为2×5=10刚好等于结点总数10，所以它的左孩子是结点10。

第三条，比如结点5，因为2×5+1=11，大于结点总数10，所以它无右孩子。而结点3，因为2×3+1=7小于10，所以它的右孩子是结点7。