计算几何之叉乘和极角排序

迫于队伍需要，蒻最近几天一直在刷计算几何的入门，做了两天，10道题，对叉乘的使用有了一定的了解，当初为了叉乘的知识点，可是找了很多的资料，但一直没有自己满意的，现在有点总结，希望各位菊苣能够给予指点。

首先，向量的两种运算，叉乘和点乘，例如向量A(X1,Y1)，B(X2,Y2)；

叉乘：A×B=（X1*Y2）-（X2*Y1）=|A|*|B|*sinθ

点乘：A·B=（X1*X2）+（Y1*Y2）=|A|*|B|*cosθ

这里着重开始讲解叉乘的作用：

一：叉乘可以判断一个点和一条线段的关系：

例如点A（X1,Y1），线段用向量点B（X2,Y2）和点C（X3,Y3）表示。

令函数Cross(A,B,C)为叉乘运算；令flag=Cross(A,B,C)，则有flag=(X1-X3)*(Y2-Y3)-(X2-X3)*(Y1-Y3)；

当flag>0的时候，点A在线段BC的右边；因为向量AC在向量BC的顺时针方向

当flag=0的时候，点A在直线BC上。这里是直线，不是线段，说明A也可能在线段BC的延长线上；

当flag<0的时候，点A在线段BC的左边；因为向量AC在向量BC的逆时针方向

二：叉乘可以判断线段与线段的关系：

这里用到的原理与判断点和线段的关系的原理类似：当两个点在一条线段的两边时，必然会有flag1*flag2<0；那么由于这里是判断线段和线段的关系，那么就必然要判断线段A

的两个端点在线段B的两边，同时线段B的两个端点也在线段A的两边，当满足这两个关系的时候，就可以说明两条线段相交。在上边的方法之前还有一个步骤是快速排斥实验，

就是分别以A和B为对角线做矩形，当两个矩形不相交的时候，说明两条线段不相交，但是这里的局限性个人感觉比较大，因为只能唯一判断两条直线不相交的情况，这其中的

对于叉乘的一个补充就是，我们可以判断两条线段刚好端点相交的情况。对于叉乘的定义，我们可以知道叉乘是通过角度来判断位置关系，这也就为什么出现了 一 中flag=0的

多种情况。那么既然是通过角度的话，当满足两条线段刚好端点相交的时候，通过叉乘，我们知道是0*flag<0，这里是不满足相交的情况的，但是这又是确确实实的端点相交。

所以这时候快速排斥实验就排上用场了，另外，特判端点相交的情况的时候，我们也可以通过一个定理：若A点在线段BC上，那么必定存在|AB|+|AC|=|BC|，这个方法和快速排

斥实验的用处是一样的。

另外补充一下极角排序（犄角排序），这里也是通过叉乘值的正负来判断的，因为线段A和线段B比较，最终结果必然是A在B的某一端或者A与B共线，当A与B共线的时候，那么也就可以通过判断距离来分清共线情况了。

代码什么时候有空再补充了，网络上也有点多代码，这里补充基础知识，计算几何系列持续更新。TO BE CONTINUED.......