The 2019 ICPC Asia Yinchuan Regional Programming Contest/2019银川区域赛 D Easy Problem(莫比乌斯反演+欧拉降幂)

题意

给你$n,m,d,k$计算下列式子
$$\sum _{i_1=1}^m\sum _{i_2=1}^m\sum _{i_3=1}^m\cdots \sum _{i_n=1}^m[gcd(i_1,i_2,i_3,\cdots ,i_n)==d](i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n{)}^k$$
其中$1\le n\le 10^{100000},1\le m,d\le 100000,1\le k\le 10^9$

思路

先提出一个$d$
$$\sum _{i_1=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{i_2=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{i_3=1}^{\frac{m}{d}}\cdots \sum _{i_n=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i_1,i_2,i_3,\cdots ,i_n)==1]d^{kn}(i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n{)}^k$$
$$d^{kn}\sum _{i_1=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{i_2=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{i_3=1}^{\frac{m}{d}}\cdots \sum _{i_n=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i_1,i_2,i_3,\cdots ,i_n)==1](i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n{)}^k$$
再将${\sum }_{j|gcd(i_1,i_2,i_3,\cdots ,i_n)}\mu (j)=[gcd(i_1,i_2,i_3,\cdots ,i_n)==1]$带入
$$d^{kn}\sum _{i_1=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{i_2=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{i_3=1}^{\frac{m}{d}}\cdots \sum _{i_n=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{j|gcd(i_1,i_2,i_3,\cdots ,i_n)}\mu (j)(i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n{)}^k$$
原来是枚举$gcd$的因子我们可以换成枚举他的倍数
$$d^{kn}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}\mu (j)\sum _{i_1=1}^{\frac{m}{dj}}\sum _{i_2=1}^{\frac{m}{dj}}\sum _{i_3=1}^{\frac{m}{dj}}\cdots \sum _{i_n=1}^{\frac{m}{dj}}{j}^{kn}(i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n{)}^k$$
$$d^{kn}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}\mu (j)j^{kn}\sum _{i_1=1}^{\frac{m}{dj}}\sum _{i_2=1}^{\frac{m}{dj}}\sum _{i_3=1}^{\frac{m}{dj}}\cdots \sum _{i_n=1}^{\frac{m}{dj}}(i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n{)}^k$$
乘积展开可以为k次幂的和，只要预处理小于m的k次幂和就可以做了
$$d^{kn}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}\mu (j)j^{kn}(1^k+2^k+3^k+\cdots +(\frac{m}{dj}{)}^k{)}^n$$
n比较大，用欧拉降幂

#include 
using namespace std;
const int N=1e5+5;
const int mod=59964251;
const int phi=59870352;
int mu[N];
int prime[N];
int vis[N];
int cnt;
long long sum[N];
char str[N];
void init()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<N; j++)
        {
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
long long quickmod(long long a,long long b)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)
            ans=ans*a%mod;
        b=b/2;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        long long m,d,k;
        scanf("%s%lld%lld%lld",str,&m,&d,&k);
        m/=d;
        sum[0]=0;
        for(int i=1; i<=m; i++)
            sum[i]=(sum[i-1]+quickmod(i,k))%mod;
        int len=strlen(str);
        int flag=0;
        long long n=0;
        for(int i=0; i<len; i++)
        {
            n=n*10+str[i]-'0';
            n=n%phi;
        }
        long long ans=0;
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            ans=(ans+mu[i]*quickmod(i,k*n%phi+phi)%mod*quickmod(sum[m/i],n+phi)%mod+mod)%mod;
        }
        ans=ans*quickmod(d,k*n%phi+phi)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
/*
59870352
*/

/*
1
1000000000 100000 100000 1000000000
38069446
*/