HDU 6825 Set1（组合数学+数学推导）

原题链接：Set1

题面：

题目大意：

给定一个集合 $S=\{1\sim n\}$，对集合进行如下操作直到 $|S|=1$。
首先会先删除集合中最小的数，之后以相同的概率删除其他的数。
求集合中每一个数被保留下来的概率。

数学推导：

令操作$1$为删除最小的元素，操作$2$为随机删除一个元素。

假设元素 $i$ 会被保留下来，则它的前面有 $i-1$ 个元素，后面有 $n-i$ 个元素。我们需要考虑保留下元素 $i$ 的所有方案数。

显然，保留下 $i$ 必须满足的条件是：$n-i\le i-1$。这样，我们可以知道，当 $i\le \frac{n}{2}$ 时，$i$ 是必定会被删除的。而且，后面 $n-i$ 个元素必然是经过操作2删除的。

所以，在所有 $i$ 被保留下来的情况中，后面 $n-i$ 个元素必然是与前面 $i-1$ 个元素中的 $n-i$ 个元素一一对应被删去的。
所以，我们可以得到删除后面 $n-i$ 个元素的方案数为：$$C_{n-1}^{i-1}\ast A_{n-i}^{n-i}=A_{i-1}^{n-i}=\frac{(i-1)!}{(2\ast i-n-1)!}$$
删除后面 $n-i$ 个元素后，还剩下 $2\ast i-n-1$ 个元素没有删去，所以我们需要两两删除这些剩余的元素。
两两删除的方案数为：$$C_{2i-n-1}^2\ast C_{2i-n-3}^2\ast ...\ast C_2^2=\frac{(2i-n-1)!}{2{!}^{\frac{2i-n-1}{2}}}$$
其中，由于选择存在顺序不一样，但是删除的元素重复的问题。所以，我们还需要进行去重操作。即需要除以 $(\frac{2i-n-1}{2})!$。

最终得到的 $i$ 被保留下来的方案数为：$$cnt[i]=\frac{(i-1)!}{(2!{)}^{\frac{2i-n-1}{2}}\ast (\frac{2i-n-1}{2})!}$$

总方案数 $sum={\sum }_{i=1}^{n}cnt[i]$
所以，元素 $i$ 被保留的概率 $p[i]=\frac{cnt[i]}{sum}$
这样，我们只需要预处理一下阶乘和逆元就行了。

代码：

#include 
#define sc scanf
#define pf printf
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 5e6 + 10, M = 2e4 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;
const int mod = 998244353;

LL fac[N], inv[N], invf[N], cnt[N];

LL qmi(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1 % mod;
    for( ; b; b >>= 1) {
        if(b & 1)   ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

void init()
{
    fac[0] = inv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
        inv[i] = inv[i - 1] * qmi(i, mod - 2) % mod;
    }
}

void solve()
{
    int n;
    sc("%d", &n);
    if(n == 1)  pf("1");
    else {
        LL sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n >> 1; i++) pf("0 ");
        for(int i = n / 2 + 1; i <= n; i++) {
            cnt[i] = fac[i - 1] * qmi(inv[2], (2 * i - n - 1) / 2) % mod * inv[(2*i-n-1)/2] % mod;
            sum = (sum + cnt[i]) % mod;
        }
        sum = qmi(sum, mod - 2);
        for(int i = n / 2 + 1; i <= n; i++) {
            if(i == n / 2 + 1)  pf("%lld", sum * cnt[i] % mod);
            else  pf(" %lld", sum * cnt[i] % mod);
        }
    }
    puts("");
}

int main()
{
    init();
    int t; sc("%d", &t); while(t--) solve();
    return 0;
}