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拉普拉斯变换（复习笔记）

拉普拉斯变换的定义和收敛域

笔者复习时着重强调概念和定义的感性认知，这里只包括拉普拉斯变换的定义和收敛域。

拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换的定义来源于傅里叶变换的定义
首先给出傅里叶变换的公式
拉普拉斯变换（复习笔记）_第1张图片这一对公式的存在是有条件的，即对f(t)是有条件的，要求其绝对可积（必要非充分）
拉普拉斯变换（复习笔记）_第2张图片
而对于一些绝对不可积信号，他们是一定不存在傅里叶变换的，但是这些信号经过自身与指数信号的衰减信号的乘积得到的新的信号是满足绝对可积的条件的，这个时候这个乘积信号就有了傅里叶变换。

拉普拉斯变换（复习笔记）_第3张图片这里给出拉普拉斯变换的两个概念：单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换，其分别对应的信号为因果信号和双边信号。上式给出的是单边拉普拉斯变换的公式。

单边拉普拉斯变换的收敛域

对于实际的现实生活中的信号而言都是因果信号不存在双边信号，所以这里只讨论单边拉普拉斯变换的收敛域。
在这里插入图片描述
由拉普拉斯的定义可知，我们希望f(t)这个信号得到指数衰减，也就是说在这里插入图片描述越大，那么得到的衰减信号越可以进行傅里叶变换，当在这里插入图片描述逐渐减小的时候，会慢慢增大绝对值积分的上限，当减小到某一个值的时候，恰好绝对不可积，这个值一般叫做在这里插入图片描述收敛轴或者收敛坐标。所以我们得到的结论是，对于一个因果信号，它的单边拉普拉斯变换（或者说拉普拉斯变换）的收敛域是
在这里插入图片描述
拉普拉斯变换（复习笔记）_第4张图片
其中对于有限非周期信号，其拉普拉斯变换至少为右半平面
拉普拉斯变换（复习笔记）_第5张图片

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