三种插入排序的分析

插入排序(Insertion Sort)的基本思想是：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子文件中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。

一、直接插入排序

直接插入排序（insert sorting)思想：当插入第i个元素时，前面的v[0],v[1],v[2]......v[i-1],已经排好序了.这时用v[i]的插入码与v[i-1],v[i-2],......排序码进行比较，找到插入的位置即插入v[i],原来位置上的元素从后向前依次后移。

template
void InsertSort(T a[],int n)
{
     for (int i = 1;i < n;++i)
     {
          int tmp = a[i];

          int j;
          for (j = i-1;j >= 0&&a[j]>tm p;--j)
               a[j+1] = a[j];
          a[j+1] = tmp;
 
     }
}

时间复杂度：
从时间分析，首先外层循环要进行n-1次插入，每次插入最少比较一次（正序），移动两次；最多比较i次，移动i＋2次（逆序）（i=1，2，…，n-1）。若分别用Cmin ，Cmax 和Cave表示元素的总比较次数的最小值、最大值和平均值，用Mmin ，Mmax 和Mave表示元素的总移动次数的最小值、最大值和平均值，则上述直接插入算法对应的这些量为：
Cmin=n-1 Mmin=2（n-1）
Cmax=1+2+…+n-1=（n^2-n）/2 Mmax=3+4+…+n+1=（n^2+3n-4）/2
Cave=（n^2+n-2）/4 Mmax=（n^2+7n-8）/4
因此，直接插入排序的时间复杂度为O（n^2）。

由上面对时间复杂度的分析可知,当待排序元素已从小到大排好序(正序)或接近排好序时,所用的比较次数和移动次数较少;当待排序元素已从大到小排好序(逆序)或接近排好序时,所用的比较次数和移动次数较多,所以插入排序更适合于原始数据基本有序(正序)的情况.

插入法虽然在最坏情况下复杂性为O(n^2)，但是对于小规模输入来说，插入排序法是一个快速的排序法。许多复杂的排序法，在规模较小的情况下，都使用插入排序法来进行排序，比如快速排序。

空间复杂度：
首先从空间来看，它只需要一个元素的辅助空间，用于元素的位置交换O(1)。

稳定性：
插入排序是稳定的,因为具有同一值的元素必然插在具有同一值得前一个元素的后面,即相对次序不变.

适用情况：
插入排序是一种简单的排序方法,他不仅适用于顺序存储结构(数组),而且适用于链接存储结构,不过在链接存储结构上进行直接插入排序时,不用移动元素的位置,而是修改相应的指针。

二、二分插入法

二分（折半）插入（Binary insert sort)排序基本思想：设在数据表中有一个元素序列v[0],v[1],v[2]......v[n].其中v[0],v[1],v[2]......v[i-1]是已经排好序的元素。在插入v[i]。利用折半搜索寻找v[i]的插入位置。

二分插入排序是一种稳定的排序。当n较大时，总排序码比较次数比直接插入排序的最差情况好得多，但比最好情况要差，所元素初始序列已经按排序码接近有序时，直接插入排序比二分插入排序比较次数少。二分插入排序元素移动次数与直接插入排序相同，依赖于元素初始序列。

template
void BinaryInsertSort(T a[],int n)
{
    for (int i = 1;i < n;++i)
    {
         int left = 0,
         right = i-1;
         int tmp = a[i];
         while (left <= right)
        {
              int middle = (left+right)/2;
              if (a[i]                    right = middle-1;
              else
                   left = middle+1;   
        }
        int j;
        for (j = i-1;j>=left;--j)
             a[j+1] = a[j];
       a[j+1] = tmp;
    }
}

三、希尔排序

基本思想：先取一个小于n的整数d1作为第一个增量，把文件的全部记录分成d1个组。所有距离为dl的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插入排序；然后，取第二个增量d2

增量序列的选择：

Shell排序的执行时间依赖于增量序列。

好的增量序列的共同特征：

① 最后一个增量必须为1；

② 应该尽量避免序列中的值(尤其是相邻的值）互为倍数的情况。

有人通过大量的实验，给出了目前较好的结果：当n较大时，比较和移动的次数约在n到1.6n之间。

参考代码：

template

void ShellSort(T a[],int n)

{

    for (int gap = n/2;gap >= 1;gap/=2)

    {

         for (int i = gap;i < n;++i)

         {

              int tmp = a[i];

              int j;

              for (j = i-gap;j >= 0&&a[j] > tmp;j-=gap)

                    a[j+gap] = a[j];

              a[j+gap] = tmp;

         }                   

    }

}

性能分析：

希尔排序的时间性能优于直接插入排序的原因：
　　①当文件初态基本有序时直接插入排序所需的比较和移动次数均较少。
　　②当n值较小时，n和n²的差别也较小，即直接插入排序的最好时间复杂度O(n)和最坏时间复杂度0(n²)差别不大。
　　③在希尔排序开始时增量较大，分组较多，每组的记录数目少，故各组内直接插入较快，后来增量d_i逐渐缩小，分组数逐渐减少，而各组的记录数目逐渐增多，但由于已经按d_i-1作为距离排过序，使文件较接近于有序状态，所以新的一趟排序过程也较快。
    　因此，希尔排序在效率上较直接插人排序有较大的改进。

稳定性：

希尔排序是不稳定的。