凸优化笔记——2.凸函数

目录

1.前言

发现完全整理的话，工作量太大，就先整理一个精简的需要注意的点吧。。。（dbq

2.定义

1. 区分凸函数/严格凸函数/拟凸函数/对数凸函数。
   对数凸函数在处理随机变量的时候可以用到
2. 凸函数的一阶条件/二阶条件
3. 詹森不等式（基本/扩展）
4. 典型例子：对数指数和/几何平均

3. 保凸运算

1. 定义
2. 二阶条件
3. 简单凸函数通过保凸运算组合，
   具体包括：
   1）非负加权求和
   2）复合仿射函数
   3）逐点最大和上确界
   4）复合
   5）最小化（对比上确界的形式）
   6）透视函数

4. 共轭函数

$f^{\ast }(y)={\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{x\in domf}(y^{T}x-f(x))$
性质：必然是凸函数。
这个性质很重要，在拉格朗日对偶函数那里会用到。