Union-Find 算法(并查集)

作者:disappearedgod
文章出处:http://blog.csdn.net/disappearedgod/article/details/25210091
时间:2014-5-7

前言

参考《算法》第四版的内容,并融入了Algorithm,Part I(Princeton)的讲义

0. 介绍

这里讨论的是一个网络连接的问题。看图画中的两个点是否能够连接上。

1. 动态连通性

问题的输入是一列整数对,其中每个整数都表示一个某种类型的对象,一对整数p q可以被理解为"p和q是相连的 "。我们假设“相连”是一种对等的关系,也就意味着:
  • 自反性:p和p是相连的
  • 对称性:如果p和q是相连的,那么q和p也是相连的
  • 传递性:如果p和q是相连的且q和r是相连的,那么p和r也是相连的。
上述对等关系能够将对象分为多个等价类(当且仅当两个对象相连时它们才属于同一个等价类)。

也就是,当程序从输入中读取了整数对(p q)时,如果一直的所有整数对都不能说明p和q是相连的,那么则将这一对整数写到输出中。如果已知的数据可以说明p和q是相连的那么程序应该忽略(p q)这对整数并继续处理输入中的下一对整数。
Union-Find 算法(并查集)_第1张图片
我们设计了一份API来封装所需的基本操作:初始化、连接两个触点、判断包含某个触点的分量、判断两个触点是否存在于同一个分量之中以及返回所有分量的数量。
public class UF
UF(int N)                                                initialize N sites with integer names (0 to N-1)
void union(int p, int q)                             add connection between p and q
int find(int p)                                          component identifier for p (0 to N-1)
boolean connected(int p, int q)                return true if p and q are in the same component
int count()                                              number of components

所有的实现都应该:
定义一种数据结构表示一直的连接
基于此数据结构实现高效的union()、find()、connected()和count()方法

Union-Find 算法(并查集)_第2张图片
我们的目的是找到一条路径:
Union-Find 算法(并查集)_第3张图片

首先,先看一下UF的测试用例

public static void main(String[] args) {
        int N = StdIn.readInt();//对象的个数
        UF uf = new UF(N);
        while (!StdIn.isEmpty()) {//输入整数对
            int p = StdIn.readInt();
            int q = StdIn.readInt();
            if (uf.connected(p, q)) continue;
            uf.union(p, q);
            StdOut.println(p + " " + q);
        }
        StdOut.println(uf.count() + " components");
    }



测试用例的一个输入是:

10
4 3
3 8
6 5
9 4
2 1
8 9
5 0
7 2
6 1
1 0
6 7


2. 实现

对于上述这样的动态连接问题,我们用下面几种方法进行数显。

2.1 quick-find 算法

2.1.1 算法介绍

我们想构造这样一种数据类型

Union-Find 算法(并查集)_第4张图片

其实,我们用了一个一下这个方法(例如添加一条边1-6)

Union-Find 算法(并查集)_第5张图片

我们举几个例子吧:

先从0-链接开始

Union-Find 算法(并查集)_第6张图片

链接操作union(4,3) 就是把id为4的数值改为id为3的数值

Union-Find 算法(并查集)_第7张图片



Union-Find 算法(并查集)_第8张图片

connected()判断是否有链接

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Union-Find 算法(并查集)_第10张图片


如下图来做这个操作

Union-Find 算法(并查集)_第11张图片

2.1.2 算法实现

根据上述介绍,我们可以写这样段代码

public class QuickFindUF {
    private int[] id;    // id[i] = component identifier of i
    private int count;   // number of components

    /**
     * Initializes an empty union-find data structure with N isolated components 0 through N-1.
     * @throws java.lang.IllegalArgumentException if N < 0
     * @param N the number of objects
     */
    public QuickFindUF(int N) {
        count = N;
        id = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++)
            id[i] = i;
    }  

    /**
     * Are the two sites p and q/tt> in the same component?
     * @param p the integer representing one site
     * @param q the integer representing the other site
     * @return true if the two sites p and q are in
     *    the same component, and false otherwise
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless both 0 <= p < N and 0 <= q < N
     */
    public boolean connected(int p, int q) {
        return id[p] == id[q];
    }
  
    /**
     * Merges the component containing sitep with the component
     * containing site q.
     * @param p the integer representing one site
     * @param q the integer representing the other site
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless both 0 <= p < N and 0 <= q < N
     */
    public void union(int p, int q) {
        if (connected(p, q)) return;
        int pid = id[p];
        for (int i = 0; i < id.length; i++)
            if (id[i] == pid) id[i] = id[q]; 
        count--;
    }
	
	/**
     * Returns the number of components.
     * @return the number of components (between 1 and N)
     */
    public int count() {
        return count;
    }
	/**
     * Returns the component identifier for the component containing site p.
     * @param p the integer representing one site
     * @return the component identifier for the component containing site p
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless 0 <= p < N
     */
    public int find(int p) {
        return id[p];
    }
}

2.1.3 算法分析

在quick-find 算法中,每次find()调用只需要访问数组一次,而归并两个分量的union()操作访问数组的次数在(N+3)到(2N+1)之间。(uion中调用两次find(),jiancha id[]数组中全部N个元素并改变他们中的1到N-1个元素)。

如果最终结果是只得到一个连通分量(所有数组值都相同),只扫调用(N-1)次union,即至少需要N+3TimesN-1次——N^2次操作。

Union-Find 算法(并查集)_第12张图片

2.2 quick-union 算法

2.2.1 介绍

这个算法主要是提高了union()方法的速度,它和quick-find方法互补。

他也是基于相同的数据结构(id数组),单赋予了不同的意义。这里采用了树(根)的概念。

我们由p和q的链接分别找到它们的根触点,然后只需要将一个根触点链接到另一个即可,讲一个分量重命名为另一个分量,因此叫做quick-union。

我现在看一下是如何做Union() 和Connect()的

Union-Find 算法(并查集)_第13张图片

Union(a,b)是将b的根节点作为a的根节点的根节点

Union-Find 算法(并查集)_第14张图片


Union-Find 算法(并查集)_第15张图片


Union-Find 算法(并查集)_第16张图片


Union-Find 算法(并查集)_第17张图片

connect(a,b)是看他们的根节点是否相同

Union-Find 算法(并查集)_第18张图片


Union-Find 算法(并查集)_第19张图片

下面看一下这个例子中的树是如何建立的

Union-Find 算法(并查集)_第20张图片

2.2.2实现


public class QuickUnionUF {
    private int[] id;    // id[i] = parent of i
    private int count;   // number of components

    /**
     * Initializes an empty union-find data structure with N isolated components 0 through N-1.
     * @throws java.lang.IllegalArgumentException if N < 0
     * @param N the number of objects
     */
    public QuickUnionUF(int N) {
        id = new int[N];
        count = N;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            id[i] = i;
        }
    }

    

    /**
     * Returns the component identifier for the component containing site p.
     * @param p the integer representing one site
     * @return the component identifier for the component containing site p
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless 0 <= p < N
     */
    public int find(int p) {
        while (p != id[p])
            p = id[p];
        return p;
    }

    /**
     * Are the two sites p and q in the same component?
     * @param p the integer representing one site
     * @param q the integer representing the other site
     * @return true if the sites p and q are in the same
     *    component, and false otherwise
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless both 0 <= p < N and 0 <= q < N
     */
    public boolean connected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

  
    /**
     * Merges the component containing sitep with the component
     * containing site q.
     * @param p the integer representing one site
     * @param q the integer representing the other site
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless both 0 <= p < N and 0 <= q < N
     */
    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ) return;
        id[rootP] = rootQ; 
        count--;
    }

    /**
     * Returns the number of components.
     * @return the number of components (between 1 and N)
     */
    public int count() {
        return count;
    }
    


}

2.2.3 评价

这个方法的最好的时间复杂度是线性的,最坏时间复杂度也还是平方的。

Union-Find 算法(并查集)_第21张图片

好处是:quick-union 算法看做是quick-find算法的一种改良,因为它解决了quick-find算法中最主要的问题(Union()操作总是线性级别的)。

我们发现最坏时间复杂度高是因为树的深度太深。

2.3 加权quick-union算法

2.3.1 介绍

简单的修改quick-union算法就能保证最坏情况不能发生。我们将记录每一棵树的大小并总是将较小的树链接到较大的树上。这项改动需要添加一个数组和一些代码在记录树中的节点数。

Union-Find 算法(并查集)_第22张图片

2.3.2 实现

public class WeightedQuickUnionUF {
    private int[] id;    // id[i] = parent of i
    private int[] sz;    // sz[i] = number of objects in subtree rooted at i
    private int count;   // number of components

    /**
     * Initializes an empty union-find data structure with N isolated components 0 through N-1.
     * @throws java.lang.IllegalArgumentException if N < 0
     * @param N the number of objects
     */
    public WeightedQuickUnionUF(int N) {
        count = N;
        id = new int[N];
        sz = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            id[i] = i;
            sz[i] = 1;
        }
    }

    /**
     * Returns the number of components.
     * @return the number of components (between 1 and N)
     */
    public int count() {
        return count;
    }

    /**
     * Returns the component identifier for the component containing site p.
     * @param p the integer representing one site
     * @return the component identifier for the component containing site p
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless 0 <= p < N
     */
    public int find(int p) {
        while (p != id[p])
            p = id[p];
        return p;
    }

    /**
     * Are the two sites p and q in the same component?
     * @param p the integer representing one site
     * @param q the integer representing the other site
     * @return true if the two sites p and q
     *    are in the same component, and false otherwise
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless both 0 <= p < N and 0 <= q < N
     */
    public boolean connected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

  
    /**
     * Merges the component containing sitep with the component
     * containing site q.
     * @param p the integer representing one site
     * @param q the integer representing the other site
     * @throws java.lang.IndexOutOfBoundsException unless both 0 <= p < N and 0 <= q < N
     */
    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ) return;

        // make smaller root point to larger one
        if   (sz[rootP] < sz[rootQ]) { id[rootP] = rootQ; sz[rootQ] += sz[rootP]; }
        else                         { id[rootQ] = rootP; sz[rootP] += sz[rootQ]; }
        count--;
    }



}

2.3.3 评价

下图为例子输入构造和上述最坏情况

Union-Find 算法(并查集)_第23张图片

对于100个点做88次union方法来说

Union-Find 算法(并查集)_第24张图片

2.4 总结

各种UF的性能比较

Union-Find 算法(并查集)_第25张图片

所有操作的总成本(横轴为链接总数,纵轴为访问数组的次数)

Union-Find 算法(并查集)_第26张图片


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