图论——路径寻找问题（弗洛伊德算法和Dijkstra算法）

路径寻找问题可以归结为隐式图的遍历，它的任务是找到一条从初始状态到终止状态的最优路径，而不是像回溯法那样找到一个符合某些要求的解。

图的存储方式：邻接矩阵、邻接表、十字链表、邻接多重表等。这里介绍邻接矩阵。

参见百度百科：

邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵。

设G=（V,E）是一个有向图，其逻辑结构分为两部分，V和E集合。因为我们可以用一个二维数组存放顶点与顶点的权值，数组下标表示顶点。

如：

给定一个图：

 

则该图的邻接矩阵为：

	1	2	3	4
1	0	2	6	4
2	INF	0	3	INF
3	7	INF	0	1
4	5	INF	12	0

 什么是最短路？

假如我们要从2走到4，如图，我们有两种路径：

第一种：2——>3——>4      总权值(路径)为：4

第二种：2——>3——>1——>4  走权值（路径）为：14

所以第一种为最短路；

弗洛伊德算法（适用多源最短路径问题）：

因为两个顶点之间不一定有直接连通且权值最小的路，所以往往要经过其顶点的中转而到达目标顶点。

比如：

当我们要求所有的顶点都必须经过顶点一时再求其最短路，我们就需要比较e[i][1]+e[1][i]与e[i][j]大小；

void solve()
{
	for(int i=1;i<=V;i++)
		for(int j=1;j<=V;j++)
			e[i][j]=min(e[i][1]+e[1][j],e[i][j]);
}

之后我们的邻接矩阵变为：

可以发现，有些顶点之间的权值变小了，比如说原本3——>2之间的权值为极大值，也就是3！——>2,现在3通过1中转至2，权值缩小为9,，所以弗洛伊德算法就是遍历整个图，保存每个顶点之间的最短路，时间复杂度o（n^3）

所以求整个图的最短路代码为：

void Floyd_Warshall()
{
	for(int k=1;k<=V;k++)
		for(int i=1;i<=V;i++)
			for(int j=1;j<=V;j++)
				e[i][j]=min(e[i][j],e[i][k]+e[k][j]);
}

Dijkstra算法（单源最短路径问题）

迪杰斯特拉算法是计算一个点（注意是某一个顶点）到其他所有点的最短路径，特点是采用广度优先搜索的思想，以起始点为中心，向外层层扩散，直到扩散到终点。

算法思路:

1.通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

2.此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

3.初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

操作步骤：

1.首先指定一个起始点s；

2.定义一个二维数组e[MAXN][MAXN]和两个一维数组dis[MAXN]，book[MAXN]，e的作用保存图的信息，dis的作用是存储起始点到其他点的最短路径，book的作用是判断某个点是否被遍历过。

3.首先给dis数组赋值，设起始点为s，则dis[s]=0,因为到自己的距离为0，其他的，若起始点与该顶点之间有边，则赋值为该边（权值）大小，否则赋值为INF；

4.再book数组中选择一个距离顶点s最近的顶点u，存入dis数组中，然后遍历所有点u能直接到达的点（设为s1），并对每一条边进行判断，如果dis[s1]>dis[u]+e[u][s1],则dis[s1]=dis[u]+e[u][s1],一直重复此操作，直到所有点遍历完毕;

#define MAXN 60
#define INF 999999
int e[MAXN][MAXN];
bool book[MAXN]={false};
int dis[MAXN];
int V,E;
void prepare()
{
	//对邻接矩阵初始化 
	for(int i=0;i> V >> E;
	for(int i=0;i> a >> b >> c;
		e[a][b]=c;		//从a到b的权值为c 
	} 
	
	//初始化dis数组
	for(int i=1;i<=V;i++)
		dis[i]=e[1][i];
		
	book[1]=true; 
}
void Dijkstra()
{
	int u;
	int minn=INF;
	for(int i=1;i<=V-1;i++)
	{
		minn=INF;
		//找距离1号最近的顶点 
		for(int j=1;j<=V;j++)
		{
			if(book[j]==false&&dis[j]