[数论] 约数个数定理与约数和定理

约数个数定理


对于一个大于1正整数n可以 分解质因数:
 
则n的 正约数的个数就是
   
其中a 1、a 2、a 3…a k是p 1、p 2、p 3,…p k的指数。

约数定理证明

首先同上,n可以 分解质因数:n=p1^a1×p2^a2×p3^a3*…*pk^ak,
由约数定义可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1 ,共(a1+1)个;同理p2^a2的 约数有(a2+1)个......pk^ak的约数有(ak+1)个。
故根据 乘法原理:n的约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)。

例题

#1284 : 机会渺茫

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描述

小Hi最近在追求一名学数学的女生小Z。小Z其实是想拒绝他的,但是找不到好的说辞,于是提出了这样的要求:对于给定的两个正整数N和M,小Hi随机选取一个N的约数N',小Z随机选取一个M的约数M',如果N'和M'相等,她就答应小Hi。

小Z让小Hi去编写这个随机程序,到时候她review过没有问题了就可以抽签了。但是小Hi写着写着,却越来越觉得机会渺茫。那么问题来了,小Hi能够追到小Z的几率是多少呢?

输入

每个输入文件仅包含单组测试数据。

每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,意义如前文所述。

对于40%的数据,满足1<=N,M<=106

对于100%的数据,满足1<=N,M<=1012

输出

对于每组测试数据,输出两个互质的正整数A和B(以A分之B表示小Hi能够追到小Z的几率)。

样例输入
3 2
样例输出
4 1
这里我们可以利用约数个数定理 求出n的约数个数 n1,和m的约数个数 m1.则 从n和m中各选择出一个数的总可能数为 n1*m1

这里我们还要计算下有多少个组合满足因子数相同.于是求出n和m的最大公约数d.于是d的约数个数d1就是相同的组合个数.

于是我们得到的概率就就是 d1 / (n1*m1) 这个时候在通过最大公约数约分


#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e7+10;
vector primes;
bool isprime[maxn];
void creatprime() {
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    primes.clear();
    isprime[0] = isprime[1] = 0;
    for(int i=2;i 1) ans <<= 1;
    return ans;
}
int main()
{
    creatprime();
    ll n,m;
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
    {
        ll d = __gcd(n,m);
        ll n1 = solve(n),m1 = solve(m),d1 = solve(d);
        ll gcd = __gcd(n1*m1,d1);
        printf("%lld %lld\n",n1*m1/gcd,d1/gcd);
    }
    return 0;
}


约数和定理

对于一个大于1正整数n可以 分解质因数:n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
则由 约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个,
那么n的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个正约数的和为
f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak)
约数和定理证明

证明:若n可以 分解质因数:n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
可知p1^a1的 约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1
同理可知,pk^ak的约数有:pk^0, pk^1, pk^2......pk^ak ;
实际上n的约数是在p1^a1、p2^a2、...、pk^ak每一个的约数中分别挑一个相乘得来,
可知共有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)种挑法,即约数的个数。
由 乘法原理可知它们的和为
f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak)

例题



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