多柱汉诺塔问题浅析——算法及公式推导

汉诺塔问题

汉诺塔（Tower of Hanoi）是一个数学游戏：有三根柱子，其中一根柱子自底向上串着尺寸渐小的多个圆盘，遵循以下规则：
1、一次只能移动一个圆盘；
2、大圆盘不能放在小圆盘上面。
请问最少需要移动多少步，才能将所有圆盘移到另一根柱子上？

解答： 设移动$N$个圆盘所需的最少步数为$F(N)$。将三根柱子分别命名为A、B、C，要把$N$个圆盘从A柱移至C柱，拆解为如下步骤：
1、将$N-1$个圆盘从A柱移至B柱，需要$F(N-1)$步；
2、将余下的最大圆盘从A柱移至C柱，需要一步；
3、将$N-1$个圆盘从B柱移至C柱，需要$F(N-1)$步。
得到最少移动步数的递推公式$F(N)=2F(N-1)+1$。易知$F(1)=1$，可得通项公式$F(N)=2^N-1$。

推广： 如果有四根或者更多柱子，所需的最少移动步数又是多少？

Frame-Stewart算法

该算法采用递推的思想来求解多柱汉诺塔问题。设$M$根柱子、$N$个圆盘所需的最少移动步数为$F_M(N)$，将移动步骤拆解为：
1、将$r$个圆盘移到另一根柱子上（非目标柱），需要$F_M(r)$步；
2、将余下的$N-r$个圆盘移至目标柱，需要$F_{M-1}(N-r)$步；
3、将$r$个圆盘移至目标柱，需要$F_M(r)$步。
得到递推公式
$$F_M(N)=\underset{1\le r<N}{\min }\{2F_M(r)+F_{M-1}(N-r)\}$$
代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

// the least number of movements for n disks, m pegs
map<pair<int, int>, double> mapLeastMoves;
double LeastMoves(const int n, const int m) {
    if (n < 0 || m < 3)
        return -1;
    if (n == 1)
        return 1;
    const auto index = make_pair(n, m);
    if (mapLeastMoves.count(index) > 0)
        return mapLeastMoves[index];
    double least_moves;
    if (m == 3) {
        least_moves = pow(2., n) - 1;
    } else {
        least_moves = 2 * LeastMoves(n - 1, m) + LeastMoves(1, m - 1);
        for (int r = n - 2; r > 0; --r) {
            double moves = 2 * LeastMoves(r, m) + LeastMoves(n - r, m - 1);
            if (moves < least_moves)
                least_moves = moves;
            else // a little optimization
                break;
        }
    }
    mapLeastMoves[index] = least_moves;
    return least_moves;
}

void main() {
    int M = 7, N = 10;
    cout << "M\\N";
    for (int n = 1; n <= N; ++n)
        cout << "\tN = " << n;
    cout << endl;
    for (int m = 3; m <= M; ++m) {
        cout << "M = " << m;
        for (int n = 1; n <= N; ++n)
            cout << "\t" << LeastMoves(n, m);
        cout << endl;
    }
    system("pause");
}

输出：

M\N     N = 1   N = 2   N = 3   N = 4   N = 5   N = 6   N = 7   N = 8   N = 9   N = 10
M = 3   1       3       7       15      31      63      127     255     511     1023
M = 4   1       3       5       9       13      17      25      33      41      49
M = 5   1       3       5       7       11      15      19      23      27      31
M = 6   1       3       5       7       9       13      17      21      25      29
M = 7   1       3       5       7       9       11      15      19      23      27

多柱情形下的通项公式

将$F_{M-1}(N-r)$继续展开，$F_M(N)$的推导公式可以改写成如下形式
$$\begin{gathered} F_M(N)=\underset{r_M,r_{M-1},\dots ,r_3}{\min }\{2[F_M(r_M)+F_{M-1}(r_{M-1})+\cdots +F_3(r_3)]+1\}, \\ s.t.\{\begin{array}{l}0\le r_m<N,\forall m\in [3,M]\\ {\sum }_{m=3}^M{r}_m+1=N\end{array} \end{gathered}$$
用$\Delta$表示$N$加一时$F_M(N)$的增量，设$\Delta F_M(N)=F_M(N)-F_M(N-1)$，易得
$$\{\begin{array}{l}\Delta F_M(1)=1\\ \Delta F_M(N+1)=2\underset{m\in [3,M]}{\min }\{\Delta F_m(r_m+1)\}\\ \Delta F_M(N+1)\ge \Delta F_M(N)\end{array}$$
若$r_m+1=1,\exists m\in [3,M]$，则$\Delta F_M(N+1)=2\Delta F_m(1)=2$。此时${\sum }_{m=3}^M{r}_m<{\sum }_{m=3}^{M}1=M-2⟹N<M-1$，将$N+1$替换为$N$，可知
$$\Delta F_M(N)=2,\text{ if }1<N\le M-1$$
若$r_m+1>1,\forall m\in [3,M]$，且$r_m+1\le m-1,\exists m\in [3,M]$，则$\Delta F_M(N+1)=2\Delta F_m(r_m+1)=4$。此时${\sum }_{m=3}^M{r}_m<{\sum }_{m=3}^M(m-1)=\frac{1}{2}M(M-1)-1⟹N<\frac{1}{2}M(M-1)$，将$N+1$替换为$N$，可知
$$\Delta F_M(N)=4,\text{ if }M-1<N\le \frac{1}{2}M(M-1)$$
若$r_m+1>m-1,\forall m\in [3,M]$，且$r_m+1\le \frac{1}{2}M(M-1),\exists m\in [3,M]$，则$\Delta F_M(N+1)=2\Delta F_m(r_m+1)=8$。此时${\sum }_{m=3}^M{r}_m<{\sum }_{m=3}^M\frac{1}{2}m(m-1)=\frac{1}{6}(M+1)M(M-1)-1⟹N<\frac{1}{6}(M+1)M(M-1)$，将$N+1$替换为$N$，可知
$$\Delta F_M(N)=8,\text{ if }\frac{1}{2}M(M-1)<N\le \frac{1}{6}(M+1)M(M-1)$$
从上式中找寻规律，由数学归纳法可以证得
$$\Delta F_M(N)=2^t,\text{ if }{C}_{M-3+t}^{M-2}<N\le C_{M-2+t}^{M-2}$$
由$F_M(N)={\sum }_{n=1}^N\Delta F_M(n)$可知，对于$M=k+2$根柱子、$N$个圆盘的汉诺塔问题，
$$F_M(N)=1+\sum _{t=1}^{T-1}{2}^t(C_{k+t}^k-C_{k-1+t}^k)+2^T(N-C_{k-1+T}^k),\text{ if }{C}_{k-1+T}^k<N\le C_{k+T}^k$$