牛客 - 牛牛的树行棋

题目描述

牛牛的树行棋

解法：SG函数+DFS（C++）

详细参考 Lskkkno1的解 和 段三园的小迷弟的解

我们先介绍关于 SG 函数的两个结论：

• 当前局面的 SG 值为 0，先手必败，否则先手必胜
• 若一个游戏是多个独立游戏组成的，那么当前局面的 SG 值是多个独立游戏 SG 值的异或值

那么，对这道题而言，每一枚棋子其实都是独立的，也就是说，当前局面的多个独立游戏就是每一枚棋子，当前局面的 SG 值就是每一枚棋子的 SG 值的异或和。

那么一枚棋子的 SG 值怎么求呢？

若一枚棋子在叶子节点（后继状态是空集），它的 SG 值为 0

若一枚棋子的后继节点只有叶子节点，它的 SG 值为 1

若一枚棋子的后继节点 SG 值最大为 1 （那么肯定也有 0），它的 SG 值为 2

若一枚棋子的后继节点 SG 值最大为 2 （那么肯定也有 1, 0），它的 SG 值为 3

$\cdots \cdots$

就是说，除叶节点外，每个节点的 SG 值等于 $max(子树的SG值)+1$

根据上面的结论，求出所有 SG 值的异或和 $xxor$，如果 $xxor!=0$，先手有必赢策略，否则必输

那么知道必赢之后该怎么求解方法数呢？

因为 SG 值为 0 的局面是必输的，也就是说，我们需要在第一次移动之后使得局面的 SG 值一定要等于 0

考虑当前要移动的棋子为 $i$，它的 SG 值为 $S{G}_i$，且令移动之前局面的 SG 值为 $xxor$，要使移动后总的 SG 值为 0，这枚棋子需要移动到 SG 值等于 $S{G}_i\oplus xxor$ 的位置

于是，我们通过一个计数数组 $cnt[...]$，记录当前根节点下的全部子节点出现的 SG 值的次数，然后求和 $cnt[S{G}_i\oplus xxor]$ 就是我们想要的结果啦

当然，cnt[sg[x]]++; cnt[sg[x]]--; 是为了保证 DFS 到达叶节点回溯时走过的路已经计算完毕，如果不减掉那就会重复计算

#include 

using namespace std;

const int N = 5e5+10;
vector<int> e[N];
int n, u, v, sum, xxor, sg[N<<1], cnt[N<<1];

void dfs1(int x, int pre){
    // 计算每个节点的 sg 值，判断先手是否能赢
    for(auto i: e[x])
    {
        if(i!=pre)
        {
            dfs1(i, x);
            sg[x] = max(sg[x], sg[i]+1);
        }
    }
    xxor ^= sg[x];
}

void dfs2(int x, int pre){
    // 求必赢策略中的第一步的方法数
    cnt[sg[x]]++;
    sum += cnt[sg[x]^xxor];
    for(auto i: e[x])
        if(i!=pre) dfs2(i, x);
    cnt[sg[x]]--;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        cin >> u >> v;
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1, -1);
    if(xxor)
    {
        dfs2(1, -1);
        cout << "YES" << endl;
        cout << sum << endl;
    }
    else cout << "NO" << endl;
    return 0;
}