统计学习方法·笔记·第二章感知机

第2章 感知机（perceptron）

感知机是二分类的线性分类模型，输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1和-1二值。

感知机模型

$$f(x)=sign(w\cdot x+b)$$
$wϵR^n$叫做权值（weight）或权值向量（weight vector），$bϵR$叫做偏置（bias）。$w\cdot x$表示w与x的内积。
$$sign(x)=\{\begin{array}{cc}+1& ,x⩾0\\ -1& ,x<0\end{array}$$
感知机只对线性可分数据集（linearly separable data set）有效。

感知机的学习策略

损失函数的选择：一个自然的选择是误分类的总数。但是，这样的损失函数不是参数w，b的连续可导函数，不宜优化。另一个选择是误分类点到超平面S的总局和。
输入空间$R^n$中任意一点$x_0$到超平面S的距离：（二维推导可采用两个直角三角形面积相等）
$$\frac{1}{\Vert w\Vert }\left|w\cdot x_0+b\right|$$
$\Vert w\Vert$是w的$L_2$范数。
对于误分类的数据$（x_i,y_i）$来说(去掉绝对值，考虑符号正负)，误分类点到S的距离为：
$$-\frac{1}{\Vert w\Vert }{y}_i\left(w\cdot x_i+b\right)$$
设误分点集合为M，所有误分点到S平面的总距离为：
$$-\frac{1}{\Vert w\Vert }\sum _{x_iϵM}{y}_i\left(w\cdot x_0+b\right)$$
不考虑$\frac{1}{\Vert w\Vert }$，就得到感知机损失函数。
为什么可以不考虑$\frac{1}{\Vert w\Vert }$？
1、$\frac{1}{\Vert w\Vert }$不影响$y_i\left(w\cdot x_0+b\right)$正负的判断，因此不影响算法的中间过程。感知机是被误分类驱动的。
2、$\frac{1}{\Vert w\Vert }$不影响最终的学习结果。感知机最终期望的结果是所有点被正确分类，即$-\frac{1}{\Vert w\Vert }{\sum }_{x_iϵM}{y}_i\left(w\cdot x_0+b\right)$的分子部分为零。可以看出$\frac{1}{\Vert w\Vert }$不影响最终结果。
所以，感知机损失函数定义为：
$$L(x,b)=-\sum _{x_iϵM}{y}_i\left(w\cdot x_0+b\right)$$

感知机学习算法

感知机问题转化为求解损失函数的最优化问题，最优化的方法是随机梯度下降法。

感知机学习算法的原始形式

首先，任意选取一个超平面$w_0,b_0$，然后用梯度下降法不断极小化目标函数。极小化过程中不是一次使M中所有误分类点的梯度下降，而是一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。
（感知机学习算法是对上述损失函数进行极小化，求得w和b。但是用普通的基于所有样本的梯度和的均值的批量梯度下降法（BGD）是行不通的，原因在于我们的损失函数里面有限定，只有误分类的M集合里面的样本才能参与损失函数的优化。所以我们不能用最普通的批量梯度下降,只能采用随机梯度下降（SGD））
假设误分类点集合M是固定的，那么损失函数$L(x,b)$的梯度为：
$${▽}_{w}L(w,b)=-\sum _{x_iϵM}{y}_i{x}_i$$
$${▽}_{b}L(w,b)=-\sum _{x_iϵM}{y}_i$$
随机选取一个误分类点$(x_i,y_i)$，对w，b进行更新。
$$w\leftarrow w+\eta y_i{x}_i$$
$$b\leftarrow w+\eta y_i$$
$\eta$，($0<\eta \le 1$)是步长又称为学习速率（learning rate）。

算法步骤：（感知机学习算法的原始形式）
输入：悬链数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_N,y_N)\}$，其中$x_iϵ\chi =R^n$，$y_iϵ\{-1,+1\},i=1,2,...,N$;学习率$\eta$($0<\eta \le 1$)；
输出：w,b;感知机模型$f(x)=sign(w\cdot x+b)$。
（1）选取初值$w_0,b_0$;
（2）在训练数据集中选取数据$(x_i,y_i)$;
（3）如果$y_i\left(w\cdot x_i+b\right)\le 0$,
$$w\leftarrow w+\eta y_i{x}_i$$
$$b\leftarrow w+\eta y_i$$
（4）转至（2），直至训练集中没有误分类点。
感知机学习算法由于采用不同的初值或选取不同的误分类点，解可以不同。

感知机学习算法的对偶形式

对偶形式的基本想法是，将w，b表示为实习$x_i$和$y_i$的线性组合形式，通过求解其系数而求得的w和b。
在原始算法的基础上，不失一般性，可以假设初始值选取初值$w_0,b_0$均为0。对误分点通过
$$w\leftarrow w+\eta y_i{x}_i$$
$$b\leftarrow w+\eta y_i$$
逐步修改w，b，设修改n次，最后学习到的w，b可以表示为：
$$w=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i$$
$$b=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i$$
$${\alpha }_i=n_i\eta$$

算法：（感知机学习的对偶形式）
输入：悬链数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_N,y_N)\}$，其中$x_iϵ\chi =R^n$，$y_iϵ\{-1,+1\},i=1,2,...,N$;学习率$\eta$($0<\eta \le 1$)；
输出：w,b;感知机模型$f(x)=sign({\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i\cdot x+b)$。其中$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_N{)}^T$。
（1）$\alpha \leftarrow 0,b\leftarrow 0$;
（2）在训练数据集中选取数据$(x_i,y_i)$;
（3）如果$y_i\left({\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i\cdot x_i+b\right)\le 0$,
$${\alpha }_i\leftarrow {\alpha }_i+\eta$$
$$b\leftarrow b+\eta y_i$$
（4）转至（2），直至训练集中没有误分类点。
对偶形式中训练实例仅以内积的形式出现。为了方便，可以预先将悬链集中实例内积计算出来，并以矩阵的形式储存，这个矩阵就是Gram矩阵。
$$G={\left[x_i\cdot x_j\right]}_{N\times N}$$

原始形式和对偶形式的选择

在向量维数（特征数）过高时，计算内积非常耗时，应选择对偶形式算法加速。
在向量个数（样本数）过多时，每次计算累计和就没有必要，应选择原始算法

算法的收敛性

当训练数据集线性可分时，感知机学习算法原始形式和对偶形式的迭代是收敛的，存在多个解。