置换和轮换(新姿势,摘自黑书)

参考论文

这一部分在黑书中,
是在群论这一部分介绍的
所以我们先了解什么是

群的定义

给定一个集合G={a,b,c…}和集合G上的一个二元计算*,满足以下四个条件:
(1)封闭性
若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;
(2)结合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)* c=a* (b*c);
(3)单位元存在
存在e∈G,对任意a∈G,满足a*e=e*a=a,称e为单位元,也称幺元;
(4)逆元存在
任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e(单位元),则称a与b互为逆元素,简称逆元,记作a^(-1)=b.

通常称G上的二元运算*为“乘法”,称a*b为a与b的积,并简写为ab.
若群G中元素个数是有限的,则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶

置换的定义

n个元素1,2,3,4,…,n之间的一个置换为
置换和轮换(新姿势,摘自黑书)_第1张图片
表示1被1到n中的某一个数a1取代,2被1到n中的某一个数a2取代,直到n被1到n中的某一个数an取代,且a1到an各不相同

置换群
置换群的元素是置换,运算的置换的连接
置换和轮换(新姿势,摘自黑书)_第2张图片
可以验证置换群满足群的四个条件:

循环
这里写图片描述
称为n阶循环
每个置换都可以看作是若干互不相交的循环的乘积

为什么呢?因为我们可以把每个元素看作是一个结点,
如果a变成b,连一条有向边a—>b,则每一个节点一定有一个前驱结点和一个后继结点,
即每个点的出度和入度都为1,这样的图对应就是若干个环(轮换)

两个循环(a1 a2 … an) (b1 b2 … bn)互不相交是指
ai!=bj(i,j=1,2,3,4,…,n)
例:
置换和轮换(新姿势,摘自黑书)_第3张图片
挺好理解的吧

这样的表示是唯一的
置换的循环节数是上述表示中循环的个数
循环也称为轮换

对换
简单来说就是两个元素的交换

经典模型

等价类计数问题
有这样一个经典问题,给2*2方格中涂黑白两色,有几种方案
Ans.16
置换和轮换(新姿势,摘自黑书)_第4张图片

但是如果定义一种“旋转操作”,规定逆时针旋转90°,180°,270°后相同的方案算作一种,
那么答案就变成6种了
置换和轮换(新姿势,摘自黑书)_第5张图片

这类问题被称作是等价类计数问题
也就是说,题目中会定义一种等价关系,满足等价关系的元素被看做是同一类
等价关系满足自反性传递性

  • 自反性:A等价于B,则B等价于A
  • 遗传性:A等价于B,B等价于C,则A等价于C

有了等价关系,所有的元素就会被分成若干等价类,
每个等价类里的所有元素相互等价,不同等价类里的元素不等价

为了统计等价类的个数
我们需要用一个置换集合F描述等价关系
比如说“逆时针旋转90°”这个置换就可以把这里写图片描述映射到这里写图片描述

注意

F中任意两个置换的乘积也应当在F中,否则F无法构成置换群

对于一个置换f,若一个方案经过置换后不变,称s为f的不动点
f的不动点的数目记为C(f),则有

Burnside 定理

等价类数目为所有C(f)的平均值

例如在本题中,
“逆时针旋转180°”的不动点:这里写图片描述
“逆时针旋转90°”的不动点:这里写图片描述
“逆时针旋转270°”的不动点:这里写图片描述
“逆时针旋转0°”的不动点:置换和轮换(新姿势,摘自黑书)_第6张图片

根据Burnside引理,答案是(16+2+2+4)/4=6

如何求C(f)呢?
我们先把格子编号这里写图片描述
比如”逆时针旋转180°“这个置换就可以看作是轮换(1,3)(2,4)的乘积
即1,3互换,2,4互换
则如果是不动点的话,1和3的颜色一定要一样,2和4的颜色一定要一样
而这两和轮换不想交,所以互不影响,根据乘法原理一共有2*2=4种方案

一般的,
如果置换f被分解成m(f)个轮换,每个轮换内所有格子的颜色不必须相同,
假设有k种颜色,则有C(f)=k^m(f)
代入Burnside 定理表达式后得到Polya定理
等价类个数等于所有置换f的k^m(f)的平均数

tip

一定要记住Burnside引理,一般的等价类问题均可以用ta解决

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