【雅可比迭代法&高斯—赛德尔迭代法】

雅可比迭代法-高斯-赛德尔迭代法求线性方程组

1. 求解方程组

• matlab程序实现

function [x,k] = Fjacobi(A,b,x0,nm,eps)
    %用雅可比迭代法求解方程组Ax=b
    %输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，
    %输入：x0为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数,eps为误差精度
    %输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，k为迭代次数
    D = diag(diag(A));
    L=-tril(A,-1);
    U=-triu(A,1);
    B=D\(L+U);
    d=D\b;
    k=1;
    disp('雅可比迭代法');
    while k<=nm
       x=B*x0+d; %雅可比迭代式
       if norm(x-x0)<eps
           disp('迭代次数为');k
           disp('方程组的解为');x
       return;
       end
       x0=x; 
       k=k+1;
    end
    %下面：如果达到最大迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的最终结果（并不是方程组的解）
    disp('在最大迭代次数内不收敛!');
    disp('最大迭代次数后的结果为');x

function [x,k] = Fgseid(A,b,x0,nm,eps)
    %用高斯-塞德尔迭代法法求解方程组Ax=b
    %输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数,eps为误差精度
    %输出: x为求得的方程组的解构成的列向量，k为迭代次数
    D = diag(diag(A));
    L = -tril(A,-1);
    U = -triu(A,1);
    G = (D-L)\U;
    d = (D-L)\b;
    
    k = 1;
    disp('高斯-塞德尔迭代法');
    while k<=nm
        x  = G * x0 + d;%计算迭代矩阵
        if norm(x-x0)<eps
            disp('迭代次数为');k
            disp('方程组的解为');x
        return;
        %上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解
        end
        x0 = x;
        k  = k + 1;
    end
    %下面：如果达到最大迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的最终结果（并不是方程组的解）
    disp('在最大迭代次数内不收敛!');
    disp('最大迭代次数后的结果为');x

• 求解函数；

a = [5 -1 -1 -1; -1 10 -1 -1; -1 -1 5 -1; -1 -1 -1 10];
b = [ 4 13 8 34]';
x0 = [0 0 0 0]';
nm = 100;
eps = 0.0001;
[x,k] = Fjacobi(a,b,x0,nm,eps);
[x,k] = Fgseid(a,b,x0,nm,eps);

结果：