【统计学习笔记】习题二

感知机不能表示异或

设异或输出1为正类，输出0为负类。若存在超平面可以正确分类，则有
$$\{\begin{array}{l}-b>0\\ {\omega }_{(1)}+b>0\\ {\omega }_{(2)}+b>0\\ -{\omega }_{(1)}-{\omega }_{(2)}-b>0\end{array}$$
将后三个式子相加得b>0，与第一式矛盾，故感知机不能表示异或。

感知机例子

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt

# load data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
y = np.array([1 if i == 1 else -1 for i in y])

# 数据线性可分，二分类数据
# 此处为一元一次线性方程
class Model:
    def __init__(self):
        self.w = np.ones(len(data[0])-1, dtype=np.float32)
        self.b = 0
        self.l_rate = 0.1
        # self.data = data
    
    def sign(self, x, w, b):
        y = np.dot(x, w) + b
        return y
    
    # 随机梯度下降法
    def fit(self, X_train, y_train):
        is_wrong = False
        while not is_wrong:
            wrong_count = 0
            for d in range(len(X_train)):
                X = X_train[d]
                y = y_train[d]
                if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
                    self.w = self.w + self.l_rate*np.dot(y, X)
                    self.b = self.b + self.l_rate*y
                    wrong_count += 1
            if wrong_count == 0:
                is_wrong = True
        return 'Perceptron Model!'

perceptron = Model()
perceptron.fit(X, y)

x_points = np.linspace(4, 7,10)
y_ = -(perceptron.w[0]*x_points + perceptron.b)/perceptron.w[1]
plt.plot(x_points, y_)
plt.plot(data[:50, 0], data[:50, 1], 'bo', color='blue', label='0')
plt.plot(data[50:100, 0], data[50:100, 1], 'bo', color='orange', label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

样本集线性可分的充要条件：正负类凸壳互不相交

充分性
若样本集线性可分，正类凸壳中的每个点可以表示为：
$$\begin{gathered} \omega \cdot x^{+}+b=\omega \cdot \sum {\lambda }_i^{+}{x}_i^{+}+b \\ =\sum {\lambda }_i^{+}(\omega \cdot x_i^{+}+b) \\ \ge \sum {\lambda }_i^{+}ϵ=ϵ>0(ϵ为任意正数) \end{gathered}$$
同理可得$\omega \cdot x^{-}+b<0$。故两个凸壳互不相交。
必要性
若正负类凸壳互不相交，则对于正负类凸壳中每一点存在向量w和实数b，满足：
$$\{\begin{array}{l}\omega \cdot x^{+}+b>0\\ \omega \cdot x^{-}+b<0\end{array}$$
故对样本中的所有负类点，满足
$$\omega \cdot x_i+b<0$$
对样本中的所有正类点，满足
$$\omega \cdot x_i+b>0$$
故样本集线性可分。