（组合数学笔记）Pólya计数理论_Part.6_置换群的循环指数

写在前面

本节介绍循环指数的定义及其推导方法，为下一节母函数型的Pólya定理做铺垫。

需要用到的一些公式

柯西公式

对称群${\mathcal{S}}_n$中格式为$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$的置换个数（共轭类${\mathcal{S}}_n$中元素个数）为

$$|{\mathcal{S}}_n({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)|=\frac{n!}{1^{{\lambda }_1}{2}^{{\lambda }_2}\cdots n^{{\lambda }_n}\cdot {\lambda }_1!{\lambda }_2!\cdots {\lambda }_n!}.$$

证明^[1]：

把$\{1,2,\cdots ,n\}$分成${\lambda }_1$个1-子集，${\lambda }_2$个2-子集，$\cdots$ ，${\lambda }_n$个n-子集的分法数为

$$\frac{n!}{(1!{)}^{{\lambda }_1}(2!{)}^{{\lambda }_2}\cdots (n!{)}^{{\lambda }_n}\cdot {\lambda }_1!{\lambda }_2!\cdots {\lambda }_n!}.$$

因为同样大小的子集在他们自身内可以任意置换而不改变其组态，而每个k-子集中可形成$(k-1)!$个轮换，所以可得$\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{p}(\sigma )=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$的置换个数为

$$\begin{array}{rl}& |{\mathcal{S}}_n({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)|\\ =& \frac{n!}{1^{{\lambda }_1}{2}^{{\lambda }_2}\cdots n^{{\lambda }_n}\cdot {\lambda }_1!{\lambda }_2!\cdots {\lambda }_n!}\prod _{k=1}^n((k-1)!{)}^{{\lambda }_k}\\ =& \frac{n!}{1^{{\lambda }_1}{2}^{{\lambda }_2}\cdots n^{{\lambda }_n}\cdot {\lambda }_1!{\lambda }_2!\cdots {\lambda }_n!}.\end{array}$$

循环指数的定义

设$G$是$n$元集$X$上的置换群，对于$\sigma \in G$，${\lambda }_k(\sigma )$表示置换$\sigma$的循环分解式中长度为$k$的循环个数，设$x_1,x_2,\cdots ,x_n$是$n$个变元，令

$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_G(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\frac{1}{|G|}\sum _{\sigma \in G}{x_1}^{{\lambda }_1(\sigma )}{x}_2^{{\lambda }_2(\sigma )}\cdots x_n^{{\lambda }_n(\sigma )}$$

则多项式${\mathrm{C}\mathrm{I}}_G(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$称为置换群$G$的循环指数。

• 循环指数统计了置换群$G$中各种置换的格式。
• 置换群的循环指数实际上是群中置换格式计数序列的多元母函数。
• 其特殊形式（各变元均相等）即为Pólya计数定理。

对称群的循环指数

定理

设${\Lambda }_n$是满足${\lambda }_1+2{\lambda }_2+\cdots +n{\lambda }_n=n$的非负整数解${\lambda }_k$构成的$n$元有序组$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$的集合，则对称群${\mathcal{S}}_n$的循环指数为：

$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{S}}_n}(x_1,,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)\in {\Lambda }_n}\prod _{k=1}^n\frac{1}{{\lambda }_k!}{\left(\frac{x_k}{k}\right)}^{{\lambda }_k}.$$

针对格式划分成不同共轭类，运用分类计数原理, 以及上面推导的柯西公式求得。

对称群循环指数的普通型母函数

$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾0}& {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{S}}_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)z^n\\ & =\sum _{n⩾0}{z}^n\sum _{{\lambda }_1+2{\lambda }_2+\cdots +n{\lambda }_n=n}\prod _{k=1}^n\frac{1}{{\lambda }_k!}{\left(\frac{x_k}{k}\right)}^{{\lambda }_k}\\ & =\sum _{n⩾0}\sum _{{\lambda }_1+2{\lambda }_2+\cdots +n{\lambda }_n=n}\frac{1}{{\lambda }_1!{\lambda }_2!\cdots {\lambda }_n!}{\left(z\frac{x_1}{1}\right)}^{{\lambda }_1}{\left(z^2\frac{x_2}{2}\right)}^{{\lambda }_2}\cdots {\left(z^n\frac{x_n}{n}\right)}^{{\lambda }_n}\\ & =\sum _{{\lambda }_1}\frac{1}{{\lambda }_1!}{\left(z\frac{x_1}{1}\right)}^{{\lambda }_1}\sum _{{\lambda }_2}\frac{1}{{\lambda }_2!}{\left(z^2\frac{x_1}{2}\right)}^{{\lambda }_2}\cdots \sum _{{\lambda }_n}\frac{1}{{\lambda }_n!}{\left(z^n\frac{x_n}{n}\right)}^{{\lambda }_n}\cdots \\ & ={\mathrm{e}}^{z\frac{x_1}{1}}\cdot {\mathrm{e}}^{z^2\frac{x_2}{2}}\cdots {\mathrm{e}}^{z^n\frac{x_n}{n}}\cdots .\end{array}$$

• 上式也说明指数函数${\mathrm{e}}^{z\frac{x_1}{1}+z^2\frac{x_2}{2}+\cdots +z^n\frac{x_n}{n}\cdots }$的展开式中$z^n$的系数为$n$元对称群的循环指数${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{S}}_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$。

交错群(对称群的一个子群)的循环指数

$|{\mathcal{A}}_n|=|{\mathcal{S}}_n|/2$，且对$\sigma \in {\mathcal{S}}_n,\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{p}(\sigma )=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$，那么$\sigma \in {\mathcal{A}}_n$当且仅当${\lambda }_2+{\lambda }_4+\cdots =$偶数，由此得到：

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{A}}_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\\ =& {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{S}}_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)+{\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{S}}_n}(x_1,-x_2,x_3,-x_4,\cdots )\\ =& \sum _{({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)\in {\Lambda }_n}[1+(-1{)}^{{\lambda }_2+{\lambda }_4+\cdots }]\prod _{k=1}^n\frac{1}{{\lambda }_k!}{\left(\frac{x_k}{k}\right)}^{{\lambda }_k}\end{array}$$

循环群的循环指数

正$n$边形的旋转

设$V$和$E$分别是正$n$边形$G_n$的顶点集和边集，则绕$G_n$的中心作平面旋转所导出的$V$和$E$上的置换群均为${\mathcal{C}}_n$，且${\mathcal{C}}_n$的循环指数为：

$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{C}}_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\varphi (d)x_d^{n/d},$$

其中$\varphi (n)$为Euler函数。

应用

$|C^X/{\mathcal{C}}_n|={\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{C}}_n}(m,m,\cdots ,m)$也是$m$元集$C$的手镯型圆排列$n$重复圆排列数，记为${⨀}_b[[m;n]]$，则由上述定理，有：

$$\underset{b}{⨀}[[m;n]]=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\varphi (d)m^{n/d}.$$

例如2色珠子串8珠手镯，${⨀}_b[[2;8]]=\frac{1}{8}\sum _{d|8}\varphi (d)m^{8/d}=\frac{1}{8}[\varphi (1)2^8+\varphi (2)2^4+\varphi (4)2^2]=\frac{1}{8}(1\times 256+1\times 16+2\times 4)=280/8=35$.

二面体群的循环指数

设$V$和$E$分别是正$n$边形$G_n$的顶点集和边集，则绕$G_n$的中心作平面旋转和空间翻转所导出的$V$和$E$傻瓜的置换群均为${\mathcal{D}}_n$（称为二面体群），且其循环指数为

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{D}}_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\\ & =\frac{1}{2n}\sum _{d|n}\varphi (d)x_d^{n/d}+\{\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}{x}_1{x}_2^{(n-1)/2},n为奇数\\ & \frac{1}{4}(x_1^2{x}_2^{n/2-1}+x_2^{n/2}),n为偶数\end{array}\end{array}$$

针对轴线，需要考虑奇数顶点或偶数顶点的情况，奇数顶点只有一种翻转方法，偶数顶点有两种翻转方法（考虑对应顶点连线为轴线和对边中点连线为轴线）。

Cayley表示的循环指数

设$G$是一个$n$阶群，$H$是其Cayley表示，则$H$的循环指数为：

$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_H(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\nu (d)x_d^{n/d},$$

其中$\nu (d)$是有限群$G$中周期（阶）为$d$的元素个数。

正多面体（4，6，8，12，20）上有关群的循环指数

常见正多面体空间刚体运动产生的顶点集、边集、面集重合的置换群的循环指数。
由此可以统计顶点、面、边进行染色的染色方案数。
需要具体分析轴线旋转的几种情况（过顶点，过边的中点，过面的中心）在此以正六面体（正方形） 的顶点集为例进行简单分析。

正六面体顶点集置换群的循环指数

设${\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}$为由正六面体$H_h$的空间刚体运动所导出的顶点集$V$上的置换群，则其循环指数为
$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}}(x_1,x_2,\cdots ,x_8)=\frac{1}{24}\left(x_1^8+8x_1^2{x}_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right)$$

推导

设$V=\{1,2,\cdots ,8\}$是正六面体$H_h$的顶点集，其能产生顶点集$V$上置换的刚体运动有三种类型，分别是

1. 绕相对的两平面的中心连线(3条)逆时针旋转，此时可旋转$0^{\circ },90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ }$，将产生$V$上的1个$(1{)}^8$型置换(恒等置换)，1个$(2{)}^4$型置换，以及2个$(4{)}^2$型置换；
2. 绕面对角线平移至体中心位置的直线(6条)翻转，将产生$V$上的1个$(2{)}^4$型置换；
3. 绕体对角线(4条)旋转，此时可旋转$0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ }$，将产生$V$上的1个$(1{)}^8$型置换(恒等置换)和2个$(1{)}^2(3{)}^2$型置换。
   综上，共有24个顶点集上的置换，其中$(1{)}^8$型置换(恒等置换)1个，$(1{)}^2(3{)}^2$型置换8个，2个$(4{)}^2$型置换9个，$(4{)}^2$型置换6个。由循环指数定义，得到：
   $${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}}(x_1,x_2,\cdots ,x_8)=\frac{1}{24}\left(x_1^8+8x_1^2{x}_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right)$$

参考文献

[1] 冯荣权,宋春伟.组合数学.北京：北京大学出版社,2015.123页