[典藏题记001]D. Frog Jumping(数论+图论+思维+暴力)

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写这题脑细胞快死完了，看了大佬的题解又研究了半天。
简单讲一下我的做法：
这题可以小范围暴力，大范围找出规律。
$设h(i)为要到达点i的最小x$。
那么$ans=$$\sum _{i=0}^n(n-h(i)+1)(如果点i可以到达)$

然后有一个性质就是：
如果点i可达，那么一定满足：$i|gcd(a,b)$

即对于x>a+b,可以保证$h(i)=i$$,对于(i|gcd(a,b))的点$
想象一个长度为$a+b+1$的线段，线段上的每一个点要么可以往左，要么可以往右，两者可以同时成立，但不可能都不成立。在总共经历了$a/(gcd(a,b))$次后跳和一定次数前跳后，一定可以到达点$i$.
这里用到了一个结论：就是两个互质的数a和b,($a+i\ast b(0<=i<a))$中的每个数对a的模数都不一样,然后其余$i$的取值根据鸽巢定理显然会造成重复。
因为取模时间复杂度很高，这里我们要用公式一次求出这部分的答案。

对于$x<=a+b$的部分暴力求解即可。我这里用了$dijkstra$堆优化来进行每个点的松弛操作。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 200005
ll a,b;
ll n,m;
int dis[MAXN];
int inf=2e9;
struct node{
    ll val;
    ll x;
    bool operator <(const node&a)const{
        if(a.val==val)
            return x>a.x;
        return val>a.val;
    }
};
inline int check(int x)
{
    if(x>=0&&x<=m)return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    ll ans=0;
    priority_queue<struct node>q;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);
    m=min(n,a+b);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        dis[i]=inf;
    for(int i=0;i<=m;i+=a) {
        dis[i] = i;
        q.push({dis[i],i});
    }
    while(!q.empty()) {
        node now = q.top();
        q.pop();
        ll x = now.x;
        if (check(x + a)) {
            if (max(dis[x ],(int)(x+a)) < dis[x+a]) {
                dis[x + a] = max(dis[x],(int)(x+a));
                q.push({dis[x + a], x + a});
            }
        }
        if (check(x - b)) {
            if (dis[x - b] > dis[x]) {
                dis[x - b] = dis[x];
                q.push({dis[x - b], x - b});
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        if(dis[i]!=inf)
        ans+=(n-dis[i]+1);
    if(n>a+b)
    {
        ll g=__gcd(a,b);
        ll c=a+b+1;
        c=c-c%g+g-g*(c%g==0);
        ll d=n-n%g;
        ll sum=(n-d+1+n-c+1)*((d-c+g)/g)/2;
        ans+=sum;
    }
    cout<<ans<<endl;
}