高数引论学习笔记1

自然数

计数法： 十六进制，十进制，八进制，二进制

1. 有上界的自然数集合中一定有一个最大的。

2. 有上界的自然数集合不能与其真子集建立一一对应关系。

有理数：

自然数的加减乘除的结果就是有理数。有理数对四则运算是自封的(闭包的)。有理数包含：自然数（自然数的加，减，乘运算产生），无限循环小数（自然数的除法运算产生），正有理数，负有理数。

任何两个有理数之间有无穷个有理数存在。因为若：a/b < c/d 显然 a/b <（a+c）/(b+d) < c/d. 以此类推。

无理数：

无理数是无限不循环小数。 有理数的开方运算得到。例如：2的平方根。

实数：

正是一个无限小数，如果是有限小数，则把最右的一个数字减1，后面天上无穷个9.

Archimedes公设：给了两个线段a与b，如果a的长度比b的长度短，用a作为“尺”， 量有限次一定能超过b的长度。

极限：

一尺之棰，日取其半，万世不竭。

实数序列的极限a,或实数序列收敛与a。对于任意一个正数b，实数序列中总能有个值c与a的距离小于b。

单调上升有上界的序列一定有极限。

某序列有极限，其子序列也具有同样的极限。

有界的无穷点集中，一定可以选出一个有极限的子序列。

实数收敛序列的极限是实数。

序列的上确界就是区间的右极限，下确界就是区间的左极限。

实数序列有上界则必有上确界，有下界则必有下确界。