RMQ(区间最值查询问题)

【简介】

RMQ ( Range Minimum / Maximum Query ) 问题是指:对于长度为 n 的数列 A,回答若干询问 RMQ (A , i , j ) ( i , j ≤ n),返回数列A中下标在 i , j 里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题。

关于RMQ问题,还是有很多方法来求解的(像线段树啊什么的),本篇博客主要介绍一下ST算法

要注意的是,ST算法只适用于静态区间求最值,如果是动态的,那还是乖乖打线段树吧

 

【基本思想】

ST算法它的本质相当于是动态规划,下面我们以求最大值为例(最小值求法和最大值差不多)

我们用 f [ i ][ j ] 表示以 i 为起点,连续 2^j 个数中的最大值,例如 f [ 2 ][ 2 ] 就表示第 2 个数到第 5 个数的最大值

 

(1)预处理:

我们用A表示原序列,由于2^{0} = 1,按照 f 数组的定义,f [ i ][ 0 ] 就等于 A[ 0 ](初始化)

对于其他的处理,我们看下图:

RMQ(区间最值查询问题)_第1张图片

对于每一个 f 数组表示的序列,我们都把它拆成两部分,很明显,它的最大值就是这两部分的最大值中较大的那一个

那么转移方程就是:f [ i ][ j ] = max { f [ i ][ j - 1 ] , f [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ][ j - 1 ] }   ( 1 << j 是位运算,相当于2^j )

具体的代码:

void RMQ()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i)
	  f[i][0]=a[i];
	for(j=1;(1<

 

(2)查询:

查询的话我还是画了一个图:

RMQ(区间最值查询问题)_第2张图片

假设要查询的区间为 [ l , r ],我们用 L 表示区间 [ l , r ] 的长度,即 L = r - l + 1,下面用 k 表示 log L

其中查询的话,区间长度 L 不一定刚好是 2 的多少次方,又因为 log L 是向下取整,那么 2^k 就有可能小于 L,这样的话,我们就不能直接用 f [ l ][ k ] 来表示答案,不然的话会有遗漏(例如上图中的左半部分)

正确的做法是我们就从 l 往右取 2^k 个(即 f [ l ][ k ]),从 r 往左取 2^k 个(即 f [ r - ( 1 << k ) + 1 ][ k ]),这样就能保证区间 [ l , r ] 都被访问到了,重复计算的不用担心,这是计算最值而不是求和

那么答案 answer = max { f [ l ][ k ] , f [ r - ( 1 << k ) + 1 ][ k ] }

具体的代码如下(Log 数组是预处理出来了的):

for(i=1;i<=q;++i)
{
	scanf("%d%d",&l,&r);
	k=Log[r-l+1];
	ans=max(f[l][k],f[r-(1<

 

(3)预处理 Log 数组:

这里注意两点:

1、Log 数组是向下取整

2、Log[ i ] = Log[ i / 2 ] +1

下面是代码:

void GetLog()
{
	int i;
	Log[1]=0;
	for(i=2;i<=n+1;++i)
	  Log[i]=Log[i/2]+1;
}

 

【复杂度分析】

其实时间复杂度看代码很容易可以分析出来

预处理部分:j 循环是O(log n),i 循环是O(n),总共是O(n * log n)

询问部分:每次询问的复杂度是O(1),有 q 个询问就是O(q)

 

【例题】

例题传送门ST表

裸的ST模板啦,代码如下:

#include
#include
#include
#define M 25
#define N 100005
using namespace std;
int n,m;
int a[N],Log[N];
int f[N][M];
void GetLog()
{
	int i;
	Log[1]=0;
	for(i=2;i<=n+1;++i)
	  Log[i]=Log[i/2]+1;
}
void RMQ()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i)
	  f[i][0]=a[i];
	for(j=1;(1<

 

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