RMQ（区间最值查询问题）

【简介】

RMQ ( Range Minimum / Maximum Query ) 问题是指：对于长度为 n 的数列 A，回答若干询问 RMQ (A , i , j ) ( i , j ≤ n)，返回数列A中下标在 i , j 里的最小（大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

关于RMQ问题，还是有很多方法来求解的（像线段树啊什么的），本篇博客主要介绍一下ST算法

要注意的是，ST算法只适用于静态区间求最值，如果是动态的，那还是乖乖打线段树吧

 

【基本思想】

ST算法它的本质相当于是动态规划，下面我们以求最大值为例（最小值求法和最大值差不多）

我们用 f [ i ][ j ] 表示以 i 为起点，连续 2^j 个数中的最大值，例如 f [ 2 ][ 2 ] 就表示第 2 个数到第 5 个数的最大值

 

（1）预处理：

我们用A表示原序列，由于 = 1，按照 f 数组的定义，f [ i ][ 0 ] 就等于 A[ 0 ]（初始化）

对于其他的处理，我们看下图：

对于每一个 f 数组表示的序列，我们都把它拆成两部分，很明显，它的最大值就是这两部分的最大值中较大的那一个

那么转移方程就是：f [ i ][ j ] = max { f [ i ][ j - 1 ] , f [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ][ j - 1 ] }   ( 1 << j 是位运算，相当于2^j )

具体的代码：

void RMQ()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i)
	  f[i][0]=a[i];
	for(j=1;(1<

 

（2）查询：

查询的话我还是画了一个图：

假设要查询的区间为 [ l , r ]，我们用 L 表示区间 [ l , r ] 的长度，即 L = r - l + 1，下面用 k 表示 log L

其中查询的话，区间长度 L 不一定刚好是 2 的多少次方，又因为 log L 是向下取整，那么 2^k 就有可能小于 L，这样的话，我们就不能直接用 f [ l ][ k ] 来表示答案，不然的话会有遗漏（例如上图中的左半部分）

正确的做法是我们就从 l 往右取 2^k 个（即 f [ l ][ k ]），从 r 往左取 2^k 个（即 f [ r - ( 1 << k ) + 1 ][ k ]），这样就能保证区间 [ l , r ] 都被访问到了，重复计算的不用担心，这是计算最值而不是求和

那么答案 answer = max { f [ l ][ k ] , f [ r - ( 1 << k ) + 1 ][ k ] }

具体的代码如下（Log 数组是预处理出来了的）：

for(i=1;i<=q;++i)
{
	scanf("%d%d",&l,&r);
	k=Log[r-l+1];
	ans=max(f[l][k],f[r-(1<

 

（3）预处理 Log 数组：

这里注意两点：

1、Log 数组是向下取整

2、Log[ i ] = Log[ i / 2 ] +1

下面是代码：

void GetLog()
{
	int i;
	Log[1]=0;
	for(i=2;i<=n+1;++i)
	  Log[i]=Log[i/2]+1;
}

 

【复杂度分析】

其实时间复杂度看代码很容易可以分析出来

预处理部分：j 循环是O（log n），i 循环是O（n），总共是O（n * log n）

询问部分：每次询问的复杂度是O（1），有 q 个询问就是O（q）

 

【例题】

例题传送门ST表

裸的ST模板啦，代码如下：

#include
#include
#include
#define M 25
#define N 100005
using namespace std;
int n,m;
int a[N],Log[N];
int f[N][M];
void GetLog()
{
	int i;
	Log[1]=0;
	for(i=2;i<=n+1;++i)
	  Log[i]=Log[i/2]+1;
}
void RMQ()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i)
	  f[i][0]=a[i];
	for(j=1;(1<