【算法导论】第六课 顺序统计，中值

这一节课讲到两个线性算法，一个是顺序统计算法（Order Statistics）还有一个是最坏情况线性时间顺序统计法（Worst-case linear-time order statistics）

这两个算法是要解决这样一个问题：对于一个数组A，我们需要求得第k小的一个数，rank（k）
如果k=1， 就是求最小值
如果k=n， 就是求最大值
如果k=[(n+1)/2] or [(n-1)/2] 那么就是求中值

1. 采用随机分治的思想计算顺序统计
计算在数组 A[p,q] 中第i小的一个数 // p，q是数列的序号
写出这个算法的伪代码：
Rand-Select(A,p,q,i)
if p=q then return A[p]
r <- Rand-Partition (A, p,q) //在A[p,q] 之间随机取一个值r
k <- r-p+1 //k是r到序列头的长度

if i=k return A[r]
if i then return Rand-Select (A,p,r-1,i)
else return Rand-Select(A,r+1,q,i-k)
这个随机分治的方法如下图：

接下来来分析这个算法，
与随机排序的分析方法差不多在除了worstcase的情况下，这个算法的复杂度都是θ（n）
而如果每次分治都只排除了一个元素的话 T(n)=T(n-1)+θ（n）那么T(n)=θ（n^2）
现在我们需要求这个T（n）的期望值，可以看出，T（n）的值依赖于不同的分治方式，这个分治方式又依赖于随机的指示变量，因此，构造一个随即指示器：
Xk=1 分割成k和n-k-1两段
Xk=0 其他情况
推导过程见课件，与快速排序法的过程类似
最终通过代换法我们可以知道
E[T(n)]≤cn，因此这个算法是线性的。

现在再来考虑一下，如果最坏的情况下，这种随机选择主元的方法会导致θ（n^2）的复杂度，那么能不能有一个算法能保证选择的主元是一个好的主元呢？

2.最坏情况线性时间顺序统计法（Worst-case linear-time order statistics）
我们需要的是一个好主元，这个时候就可以考虑我们可以递归的来选取主元，而不用随机选择
这个算法包含以下四个步骤
1）对于一个长度为n的数组，我们把这些元素组成一个5*[n/5]的阵列,并找出每一列的中值，时间复杂度θ（n）

2)求出这些中值的中值，定义为x，时间耗费n/5
3）以x为划分元素，k为x的序号，递归的调用：
if i=k return x （这里有一个疑问，返回的x并不一定是数组n的中值）
if i if i>k then 在剩下的3/4部分里迭代的寻找第i-k小的数

分析：
这个算法有趣的地方在于选取的这个分化元素x和每一组的中值，把整个阵列分成了四个部分，如下图，

其中左上部分的值一定是小于等于x的，右下部分的值一定是大于等于x，
在递归的时候，无论i大于还是小于k我们都能将运算的规模减小3*n/5/2=3n/10
T(n)=T(7n/10)+T(n/5)+θ（n）
由代换法可知，这个递归式的主导因子是θ（n），因此T（n）=θ（n）是一个线性的算法
但是，这个算法其实在现实中并不是那么好，因为c会取到很大，不见得就不随机选择主元的顺序统计法好。另外这个算法返回的x不一定就是第i小的数，我认为在准确性上还有待讨论。